数学Ⅱ 指数関数・対数関数
1．指数の拡張【演習問題】

数学Ⅱ　第5章　指数関数・対数関数

1．指数の拡張

問題１【基本】
$a \neq 0$, $b \neq 0$ とする．次の式を簡単にせよ．

\[\left(\frac{a^2\,b^{-3}}{a^{-1}\,b^2}\right)^{-2} \cdot \left(\frac{a^{-4}\,b^0}{a^3\,b^{-1}}\right)^3\]

問題２【基本】
$x > 0$, $y > 0$ のとき，次の式を簡単にせよ．

\[\frac{(\sqrt{x^3y^{-2}})^4}{(xy^{-1})^2} \cdot \frac{\sqrt{x^{-2}y^6}}{\sqrt{x^2y^{-2}}}\]

問題３【基本】
$a > 0$ かつ $a \neq 1$ とする．次の方程式を解け．

\[a^{2x} = \sqrt{a^{x+2}}\]

$a \neq 0$, $b \neq 0$ とする．次の式を簡単にせよ．

\[\left(\frac{a^2\,b^{-3}}{a^{-1}\,b^2}\right)^{-2} \cdot \left(\frac{a^{-4}\,b^0}{a^3\,b^{-1}}\right)^3\]

カッコ内の分数を先に計算します．

まず左側のカッコについては

\[\frac{a^2\,b^{-3}}{a^{-1}\,b^2} = a^{2-(-1)}\,b^{-3-2} = a^3\,b^{-5}\]

\[\therefore\ \ \left(a^3\,b^{-5}\right)^{-2} = a^{-6}\,b^{10}\]

次に右側のカッコについては

\[\frac{a^{-4}\,b^0}{a^3\,b^{-1}} = a^{-4-3}\,b^{0-(-1)} = a^{-7}\,b^1\]

\[\therefore\ \ \left(a^{-7}\,b\right)^3 = a^{-21}\,b^3\]

従って全体では

\[a^{-6}\,b^{10} \cdot a^{-21}\,b^3 = a^{-27}\,b^{13}\left(=\dfrac{b^{13}}{a^{27}}\right)\]

$x > 0$, $y > 0$ のとき，次の式を簡単にせよ．

\[\frac{(\sqrt{x^3y^{-2}})^4}{(xy^{-1})^2} \cdot \frac{\sqrt{x^{-2}y^6}}{\sqrt{x^2y^{-2}}}\]

平方根を指数で表し，指数法則を利用します．