数学Ⅱ 指数関数・対数関数2．指数関数【演習問題】

問題１【基本】
関数 $ y = 3^x $ のグラフについて，次の問いに答えよ．
(1) 定義域と値域を述べよ．
(2) $ x $ の値が増加するとき，$ y $ の値はどのように変化するか．
(3) この関数のグラフの漸近線の方程式を答えよ．

問題２【基本】
$ y = \left(\dfrac14\right)^x $ のグラフについて，次の問いに答えよ．

(1) 定義域と値域を述べよ．
(2) $ x $ の値が増加するとき，$ y $ の値はどのように変化するか．
(3) この関数のグラフの漸近線の方程式を答えよ．

問題３【基本】
次の大小関係を，不等号を用いて表せ．ただし，根拠も述べよ．
(1) $ 5^{0.3} $ と $ 5^{0.5} $
(2) $0.4^{-6}$ と $0.4^{-2}$

問題４【基本】
指数方程式 $ 4^{x+1} = 32 $ を解け．

問題５【基本】
$ a > 0,\ a \neq 1 $ のとき，指数関数 $ y = a^x $ について，

\[ a^p = a^q\ \Longrightarrow\ p = q \]

となることを説明せよ．

問題６【標準】
関数 $ f(x) = 2^{x+1} – 3 $ について，以下の問いに答えなよ．
(1) $ f(x) = 1 $ となる $ x $ の値を求めよ．
(2) $ f(x) $ の定義域と値域を求めよ．
(3) $ y = f(x) $ のグラフは $ y = 2^x $ のグラフからどのような変換で得られるか説明せよ．

問題７【標準】
$2^{x^2-1}\geqq8$ を解け．

問題８【標準】
関数 $ y = 2^x $ と $ y = 4^{x-1} $ のグラフの交点を求めよ．

問題９【発展】
関数 $ f(x) = 2^{x^2 – 4x + 3} – 8 $ について，次の問いに答えよ．
(1) $ f(x) $ の最小值と，そのときの $ x $ の値を求めよ．
(2) $ f(x) $ の定義域と値域を求めよ．