対数の基本と底の変換公式をスライドでやさしく解説

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数学Ⅱ　第5章　指数関数・対数関数

	スライド	ノート	問題
1. 指数の拡張
2. 指数関数
3. 対数とその性質
4. 対数関数
5. 常用対数

3．対数とその性質

3.1　対数とは

例　 $y = 2^{x}$

　 $y = 2^{x}$ の単調性により，
　　 $y = 1$ のとき， $x = 0$
　　 $y = 2$ のとき， $x = 1$
　　 $y = 4$ のとき， $x = 2$
　　 $y = 8$ のとき， $x = 3$
と $y$ の値に対して， $x$ の値がただ1つ定まる．

そこで，「 $y = P$ のとき， $P = 2^{x}$ となる $x$ の値」を $\log_{2} P$ で表すと， $\begin{aligned} \log_{2} 1 & = 0 \\ \log_{2} 2 & = 1 \\ \log_{2} 4 & = 2 \\ \log_{2} 8 & = 3 \end{aligned}$ となる．

　一般に， $a > 0, a \neq 1, b > 0$ のとき， $a^{p} = b$ を満たす $p$ がただ1つ存在し，これを $\log_{a} b$ と書き， $a$ を底(てい)とする $b$ の対数という．また， $b$ を真数という．

対数　 $a > 0, a \neq 1, b > 0$ のとき， $a^{p} = b ⟺ p = \log_{a} b$

補足

対数の底や真数となるための条件

　底の条件：正の数であって1ではない
　　　　　　( $a > 0, a \neq 1$ )

　真数条件：正の数
　　　　　　( $b > 0$ )

例

　 $\log_{3} 81 = ⟺ 3^{} = 81 ∴ = 4$

　 $\log_{2} \frac{1}{8} = ⟺ 2^{} = \frac{1}{8} ∴ = - 3$

例題　 $\log_{4} 8$ の値を求めよ．

　解答例を表示する

　 $\log_{4} 8 = x$ とおくと， $\begin{aligned} 4^{x} & = 8 \\ (2^{2})^{x} & = 2^{3} \\ 2^{2 x} & = 2^{3} \end{aligned}$ 　よって， $2 x = 3 ∴ x = \underset{―}{\frac{3}{2}}$

3.2　対数の性質

　 $a > 0, a \neq 1$ のとき， $a^{0} = 1, a^{1} = a,, a^{- 1} = \frac{1}{a}$ により，次が成り立つ：

$\log_{a} 1 = 0, \log_{a} a = 1, \log_{a} \frac{1}{a} = - 1$

対数の性質　 $a > 0, a \neq 1$ で， $M, N$ がともに正の数， $k$ が実数のとき， $\begin{aligned} [1] \log_{a} M N = \log_{a} M + \log_{a} N \\ [2] \log_{a} \frac{M}{N} = \log_{a} M - \log_{a} N \\ [3] \log_{a} M^{k} = k \log_{a} M \end{aligned}$

証明のポイント

指数法則を利用するため，
すべて □ $^{☆}$ の形に！

　 $r = \log_{a} M, s = \log_{a} N$ とおくと， $M = a^{r}, N = a^{s}$ である．

[1]　 $M N = a^{r} a^{s} = a^{r + s} .$
　　　（ $a$ を $(r + s)$ 乗すると $M N$ ）
　　故に， $\log_{a} M N = r + s = \log_{a} M + \log_{a} N$

[2]　 $\frac{M}{N} = \frac{a^{r}}{a^{s}} = a^{r - s} .$
　　　（ $a$ を $(r - s)$ 乗すると $\frac{M}{N}$ ）
　　故に， $\log_{a} \frac{M}{N} = r - s = \log_{a} M - \log_{a} N$

[3]　 $M^{k} = (a^{r})^{k} = a^{k r} .$
　　　（ $a$ を $k r$ 乗すると $M^{k}$ ）
　　故に， $\log_{a} M^{k} = k r = k \log_{a} M$

■

例

$\begin{aligned} \log_{10} 2 + \log_{10} 5 & = \log_{10} (2 \times 5) [←性質 1] \\ = \log_{10} 10 \\ = \underset{―}{1} \end{aligned}$

$\begin{aligned} \log_{2} 5 - \log_{2} 40 & = \log_{2} \frac{5}{40} [←性質 2] \\ = \log_{2} \frac{1}{8} \\ = \log_{2} 2^{- 3} \\ = \underset{―}{- 3} \end{aligned}$

$\begin{aligned} 6 \log_{5} \sqrt[3]{5} & = 6 \log_{5} 5^{\frac{1}{3}} \\ = 6 \times \frac{1}{3} \log_{5} 5 [←性質 3] \\ = \underset{―}{2} \end{aligned}$

3.3　底の変換公式

　 $a, b, c$ が底の条件(正であって1でない)を満たすとする．
　 $\log_{a} b = p$ とおくと， $b = a^{p}$ 　この両辺は正であるから， $c$ を底とする対数をとると， $\begin{aligned} \log_{c} b & = \log_{c} a^{p} \\ \log_{c} b & = p \times \log_{c} a [←性質 3] \end{aligned}$ 　 $a \neq 1$ より $\log_{c} a \neq 0$ であるから， $p = \frac{\log_{c} b}{\log_{c} a}$ 　 $p = \log_{a} b$ であったから置き換えると，次の底の変換公式と呼ばれる等式が得られる：

$\log_{a} b = \frac{\log_{c} b}{\log_{c} a}$

　またこの式で， $c$ を $b$ とおくと， $\log_{a} b = \frac{\log_{b} b}{\log_{b} a} = \frac{1}{\log_{b} a}$

　即ち，底と真数を入れ替えると，その数の逆数と等しくなる．

底の変換公式　 $a, b, c$ が正であって1でないとき（すなわち底の条件を満たすとき）， $\log_{a} b = \frac{\log_{c} b}{\log_{c} a}$ 　特に， $\log_{a} b = \frac{1}{\log_{b} a}$

例

$\begin{aligned} \log_{4} 8 = \frac{\log_{2} 8}{\log_{2} 4} = \frac{3}{2} \\ \log_{27} 9 = \frac{\log_{3} 9}{\log_{3} 27} = \frac{2}{3} \\ \log_{2} 3 \times \log_{3} 8 = \log_{2} 3 \times \frac{\log_{2} 8}{\log_{2} 3} = \log_{2} 8 = 3 \end{aligned}$

補足

　3番目の例で分かるように，一般に次の関係が成り立つ：

$\log_{a} b \times \log_{b} c = \log_{a} c$

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