対数関数のグラフと性質をスライドでやさしく解説

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数学Ⅱ　第5章　指数関数・対数関数

	スライド	ノート	問題
1. 指数の拡張
2. 指数関数
3. 対数とその性質
4. 対数関数
5. 常用対数

4．対数関数

4.1　対数関数

　$a$ が底の条件，すなわち正であって1でない数であるとき，$y=a^x$ は $x$ の値が1つ決まればそれに応じて $y$ の値がただ1つ決まった．つまり $y$ は $x$ の関数である．

　ここで注目すべきは，この対応が単なる一方向的な関数関係にとどまるものではなく，$x$ と $y$ との間に厳密な1対1の対応が成立している，という事実にほかならない．

$y=a^x$ の $x$ と $y$ は1対1対応

　故に，今度は $y$ の値を先に与えたとしても，その値に対応する $x$ の値は，やはりただ1つに定まることとなる．すなわち「$x$ は」 $y$ の関数である，と言い換えることもできよう．

　このように，逆の対応までもが関数として成立するのは，ひとえに指数関数の単調性という性質によるものである．

例　$y=2^x$

　$x=0$ のとき $y=1$．逆に $y=1$ のとき $x=0$．
　$x=1$ のとき $y=2$．逆に $y=2$ となる $x=1$．
　$x=2$ のとき $y=4$．逆に $y=4$ となる $x=2$．
　　　　$\vdots$

　任意の正の実数 $y$ に対して，$y=a^x$ を満たす $x$ を $\log_ay$ と書き表した．つまり $x=\log_ay$ である．しかし，数学の慣習においては，先に定める記号を $x$ とし，それに応じて決定される値を $y$ とするのが常である．そのため，

\[y=\log_ax\]

という表記が，ここでも用いられることになるのである．

対数関数　$a > 0，a\neq1$ のとき，

\[y=\log_a x\]

を，$\boldsymbol{a}$ を底(てい)とする $\boldsymbol{x}$ の対数関数という．

4.2　対数関数のグラフ

　対数関数 $y=\log_a x$ のグラフは，いかなる姿を描くのだろうか．まずは，対数の値が比較的明瞭に定まるいくつかの $x$ の値について，その対応する値を表にまとめてみることにしよう．そののち，得られた $(x,\ y)$ の組を座標平面上に1つ1つ記し，それらを滑らかに結んでいくことで，対数関数の軌跡が次第にその輪郭を現してくるはずである．

例1　$y=\log_2x$