高校数学[総目次]
数学Ⅱ 第5章 指数関数・対数関数
| スライド | ノート | 問題 | |
| 1. 指数の拡張 | |||
| 2. 指数関数 | |||
| 3. 対数とその性質 | |||
| 4. 対数関数 | |||
| 5. 常用対数 |
5．常用対数
演習問題
問題１【基本】
(1) $7^{20}$ は何桁の自然数か．ただし $\log_{10}7=0.8451$ とする．
(2) $3^{50}$ は何桁の自然数か．ただし $\log_{10}3=0.4771$ とする．
問題２【基本】
(1) $0.4^{12}$ は小数第何位に初めて0でない数字が現れるか．ただし $\log_{10}2=0.3010$ とする．
(2) $0.25^7$ は小数第何位に初めて0でない数字が現れるか．ただし $\log_{10}2=0.3010$ とする．
問題３【基本】
$6^{15}$ の最高位の数字を求めよ．ただし $\log_{10}2=0.3010,\ \log_{10}3=0.4771$ とする．
問題４【基本】
$0.25^7$ が小数第 $n$ 位に初めて0でない数字が現れる数であるとき，その第 $n$ 位の数字を求めよ．ただし $\log_{10}2=0.3010$，$\log_{10}7=0.8451$ とする．
解答
(1)
\[\log_{10} 7^{20} = 20 \log_{10} 7 = 20 \times 0.8451 = 16.902\]
よって $16< \log_{10}7^{20}<17$
従って $\log_{10}10^{16}<\log_{10}7^{20}<\log_{10}10^{17}$
底10は1より大きいから
$10^{16}<7^{20}<10^{17}$
$10^{16}$ は17桁の最初の数であり，$10^{17}$ は18桁の最初の数であるから，$7^{20}$ の桁数は17桁である．
答えは 17桁
(2)
\[\log_{10} 3^{50} = 50 \log_{10} 3 = 50 \times 0.4771 = 23.855\]
よって $23< \log_{10}3^{50}<24$
すなわち $10^{23}<3^{50}<10^{24}$
故に $3^{50}$ は24桁