数学Ⅱ 指数関数・対数関数5．常用対数【演習問題】

数学Ⅱ　第5章　指数関数・対数関数

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1. 指数の拡張
2. 指数関数
3. 対数とその性質
4. 対数関数
5. 常用対数

5．常用対数

演習問題

問題１【基本】
(1) $7^{20}$ は何桁の自然数か．ただし $\log_{10}7=0.8451$ とする．
(2) $3^{50}$ は何桁の自然数か．ただし $\log_{10}3=0.4771$ とする．

問題２【基本】
(1) $0.4^{12}$ は小数第何位に初めて0でない数字が現れるか．ただし $\log_{10}2=0.3010$ とする．
(2) $0.25^7$ は小数第何位に初めて0でない数字が現れるか．ただし $\log_{10}2=0.3010$ とする．

問題３【基本】
$6^{15}$ の最高位の数字を求めよ．ただし $\log_{10}2=0.3010,\ \log_{10}3=0.4771$ とする．

問題４【基本】
$0.25^7$ が小数第 $n$ 位に初めて0でない数字が現れる数であるとき，その第 $n$ 位の数字を求めよ．ただし $\log_{10}2=0.3010$ ， $\log_{10}7=0.8451$ とする．

問題１【基本】

(1) $7^{20}$ は何桁の自然数か．ただし $\log_{10}7=0.8451$ とする．
(2) $3^{50}$ は何桁の自然数か．ただし $\log_{10}3=0.4771$ とする．

解答

(1)

$\log_{10} 7^{20} = 20 \log_{10} 7 = 20 \times 0.8451 = 16.902$

よって　　　　　 $16< \log_{10}7^{20}<17$
従って　　 $\log_{10}10^{16}<\log_{10}7^{20}<\log_{10}10^{17}$
底10は1より大きいから
　　　　　 $10^{16}<7^{20}<10^{17}$
$10^{16}$ は17桁の最初の数であり， $10^{17}$ は18桁の最初の数であるから， $7^{20}$ の桁数は17桁である．
答えは　17桁

(2)

$\log_{10} 3^{50} = 50 \log_{10} 3 = 50 \times 0.4771 = 23.855$

よって　　 $23< \log_{10}3^{50}<24$
すなわち　 $10^{23}<3^{50}<10^{24}$
故に　　　 $3^{50}$ は24桁

問題２【基本】

(1) $0.4^{12}$ は小数第何位に初めて0でない数字が現れるか．ただし $\log_{10}2=0.3010$ とする．
(2) $0.25^7$ は小数第何位に初めて0でない数字が現れるか．ただし $\log_{10}2=0.3010$ とする．