高校数学[総目次]

数学B　第3章　統計的な推測

  スライド ノート 問題
1. 確率変数と確率分布      
2. 確率変数の期待値と分散      
3. 確率変数の変換      
4. 確率変数の和と期待値      
5. 独立な確率変数と期待値・分散      
6. 二項分布      
7. 正規分布      
8. 母集団と標本      
9. 推定      
10. 仮説検定      

2．確率変数の期待値と分散

2.1　確率変数の期待値

確率変数の期待値とは何か

　例えば，さいころを1回投げては出た目を

\[2,\ 5,\ 4,\ 1,\ 4,\ \cdots\]

というように記録することを繰り返す．このとき出た目の平均値は，さいころを振る回数が増えるにつれてどうなるだろうか？

　期待値とはこういった疑問に答えるものである．

　確率変数 $X$ の分布が次のようであるとする．

$X$ $x_1\hspace{5mm}x_2\ \ \ \cdots\ \ \  x_n$ 計
$P$ $p_1\hspace{5mm}p_2\ \ \ \cdots \ \ \ p_n$ 1

　このとき，

\[\sum_{k=1}^nx_kp_k=x_1p_1+x_2p_2+\cdots+x_np_n\]

を確率変数 $X$ の期待値(expectation)または平均といい，$E(X)$ で表す．

例題　確率変数 $X$ をさいころを1回投げたときに出た目の数とする．$X$ の平均 $E(X)$ を求めよ．

解答例を表示する

　さいころを1回投げたとき，どの目が出る確率も $\dfrac16$ であるから，期待値は

\[\begin{align*} E(X)&=1\cdot\frac16+2\cdot\frac16+3\cdot\frac16+4\cdot\frac16+5\cdot\frac16+6\cdot\frac16\\[5pt]
&=\frac{1+2+3+4+5+6}6\\[5pt]
&=\frac72=3.5 \end{align*}\]

コラム　宝くじの期待値

　ジャンボ宝くじの当選確率は概ね次のようになっている．

　　　　　　　　当たる確率
　1等5億円　　　1000万分の1
　前後賞1億円　　500万分の1
　組違賞10万円　10万分の1
　2等5万円　　　10万分の1
　3等1万円　　　1000分の1
　4等3000円　　100分の1
　5等300円　　　10分の1

　当選金額を $X$とすると，$X$ は確率変数で，その期待値 $E(X)$ は

　$E(X)=$5億円×(1千万分の1)+1億円×(500万分の1)$+\cdots+$300円×$\dfrac1{10}$
　　　　$= 50+20+1+0.5+10+30+30=141.5$

となり，理論上は 1枚300円のくじを買うと平均して140円ほど当たることになるが，これは特定のくじの当選金額が大きすぎることによるもので，当然ながら現実はもっと厳しい．例えば100本のくじのうち1本だけが100万円の当たりで，残りの99本はハズレのくじを，100人が1本ずつ引くときの当選金額の期待値は

100万円$\times\dfrac1{100}\!+0$円$\times\dfrac{99}{100}\!=$1万円

となって平均的に1万円当たるくじということになるが，実際には当たるのは1人だけで，99人は0円なのであるから，宝くじの場合は期待値と現実との乖離は大きいといえる．

2.2　確率変数の分散と標準偏差

確率変数の値の散らばり具合を表す分散と標準偏差

　「数学Ⅰ データの分析」でも学習した分散，標準偏差について，確率変数にまで拡張してみよう．

　確率変数 $X$ が次の分布に従うとする：

$X$ $x_1\hspace{5mm}x_2\ \ \ \cdots\ \ \  x_n$ 計
$P$ $p_1\hspace{5mm}p_2\ \ \ \cdots \ \ \ p_n$ 1

　確率変数 $X$ の期待値を $m$ とするとき，$X$ の $m$ からの差の2乗 $(X-m)^2$ の期待値

\[E\left((X-m)^2\right)=\sum_{k=1}^n(x_k-m)^2p_k\]

を，$X$ の分散(variance)といい，$V(X)$ で表す．

　また，$V(X)$ の正の平方根 $\sqrt{V(X)}$ を，$X$ の標準偏差(standard deviation) といい，$\sigma (X)$ で表す．

　$\sigma$ は英語の s に相当するギリシャ文字で，「シグマ」と読む．因みに $\sigma$ は小文字で，大文字の方は数列のところでお馴染みの $\sum$．

まとめ　分散　　　$\displaystyle V(X)=E((X-m)^2)=\sum_{k=1}^n(x_k-m)^2p_k$
　標準偏差　$\sigma(X)=\sqrt{V(X)}$

例題　確率変数 $X$ をさいころを1回投げたときに出た目の数とする．$X$ の分散 $V(X)$ と標準偏差 $\sigma(X)$ を求めよ．

解答例を表示する

　先程のさいころ1回投げの場合，$X$ の期待値（平均）が $3.5$ であったから，

\[\begin{align*}
V(X)&=\sum_{k=1}^6\left(x_k-3.5\right)^2\,p_k\\[5pt]
&=\left(1-3.5\right)^2\cdot\frac16+\left(2-3.5\right)^2\cdot\frac16+\cdots+\left(6-3.5\right)^2\cdot\frac16\\[5pt]
&=\frac{17.5}6\\[5pt]
&=\frac{35}{12}\ \ (=2.9166\cdots)\\[10pt]
\sigma(X)&=\sqrt{V(X)}\\[5pt]
&=\sqrt{\frac{35}{12}}\\[5pt]
&=\frac{\sqrt{105}}6\ \ (=1.7078\cdots)
\end{align*}\]

2.3　分散の書き換え

分散の計算を手軽に済ませる書き換え公式

　「数学Ⅰ データの分析」で出てきた分散の書き換えを確率変数 $X$ にまで拡張する．

　まずは簡単のために，確率変数 $X$ のとる値は $x_1, x_2$ の2つとし，$X$ の従う分布が次のようであるとする．

$X$ $x_1\hspace{5mm}x_2 $ 計
$P$ $p_1\hspace{5mm}p_2 $ 1

確率変数 $X$ の確率分布

　確率変数 $X$ の期待値 $E(X)$ を $m$ とおくと，