確率変数の変換、標準化｜数学B 統計的な推測

高校数学[総目次]

数学B　第3章　統計的な推測

	スライド	ノート	問題
1. 確率変数と確率分布
2. 確率変数の期待値と分散
3. 確率変数の変換
4. 確率変数の和と期待値
5. 独立な確率変数と期待値・分散
6. 二項分布
7. 正規分布
8. 母集団と標本
9. 推定
10. 仮説検定

3．確率変数の変換

3.1　確率変数の変換

　「数学Ⅰ データの分析」で出てきた変量の変換を，確率変数まで拡張する．

　例えば，さいころを1回投げて出た目を $X$ とする．$X$ は次の分布に従う確率変数である．

$X$	1	2	3	4	5	6	計
$P$	$\dfrac16$	$\dfrac16$	$\dfrac16$	$\dfrac16$	$\dfrac16$	$\dfrac16$	1

　ここで，出た目によって得られる得点 $Y$ を $Y=2X-1$ によって定める．すると $Y$ はさいころを1回投げるという試行によって定まる変数であるから確率変数であり，その分布は次のようになっている．

$Y$	1	3	5	7	9	11	計
$P$	$\dfrac16$	$\dfrac16$	$\dfrac16$	$\dfrac16$	$\dfrac16$	$\dfrac16$	1

　このとき，$Y$ の期待値 $E(Y)$ を定義通り計算することもできるが，実はそのようにしなくても $X$ の期待値さえわかれば $Y$ の期待値は簡単に計算できるのである．

　この節では確率変数 $X$ に対して $a,b$ を定数として $Y=aX+b$ という関係を持つ $Y$ について，$Y$ の期待値が $X$ の期待値を用いてどのように表されるかを見ていく．

$1^\circ\ X$ のとる値が2個のとき

　まずは簡単のために，確率変数 $X$ のとる値は $x_1, x_2$ の2つとし，$X$ の従う分布が次のようであるとする．

$X$	$x_1\hspace{5mm}x_2$	計
$P$	$p_1\hspace{5mm}p_2$	1

確率変数 $X$ の確率分布

　次に $a,\ b$ を実数として $Y=aX+b$ で $Y$ を定めると，試行の結果によって $X$ の値が定まれば，$Y=aX+b$ により $Y$ の値も定まるから $Y$ も確率変数である．しかも $Y$ に付随する確率は $X$ のものと同じであるから，確率変数 $Y$ は次の分布に従う．

$X$	$x_1\hspace{15mm}x_2$	計
$Y$	$ax_1+b\hspace{5mm}ax_2+b$
$P$	$p_1\hspace{15mm}p_2$	1

確率変数 $Y$ の確率分布

　よって $Y$ の期待値，分散，標準偏差は次のようになる．

期待値

\[\begin{align*}
E(Y)&=(ax_1+b)p_1+(ax_2+b)p_2\\[5pt]
&=a(x_1p_1+x_2p_2)+b(p_1+p_2)\\[5pt]
&=aE(X)+b\cdot1\\[5pt]
&=aE(X)+b
\end{align*}\]

分散

　よって

標準偏差

\[\begin{align*}
\sigma(Y)&=\sqrt{a^2V(X)}\\[5pt] &=|a|\sqrt{V(X)}\\[5pt] &=|a|\,\sigma(X) \end{align*}\]

$2^\circ\ X$ のとる値が $n$ 個のとき