4．確率変数の和と期待値【ノート】
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高校数学[総目次]

数学B　第3章　統計的な推測

	スライド	ノート	問題
1. 確率変数と確率分布
2. 確率変数の期待値と分散
3. 確率変数の変換
4. 確率変数の和と期待値
5. 独立な確率変数と期待値・分散
6. 二項分布
7. 正規分布
8. 母集団と標本
9. 推定
10. 仮説検定

4．確率変数の和と期待値

4.1　同時分布

　確率変数 $X,Y$ について，$X=a$ かつ $Y=b$ である確率を

$$P(X=a,Y=b)$$

と表す．

　2つの確率変数 $X, Y$について，

　　$X$ のとる値：$x_1,x_2,\cdots,x_n$ の $n$ 個
　　$Y$ のとる値：$y_1,y_2,\cdots,y_m$ の $m$ 個

であるとし，$P(X=x_i,Y=y_j)$ を $p_{ij}$ で表すとき，次の表のようにまとめることができる：

$X\backslash Y$	$y_1\hspace{6mm}y_2\ \ \ \ \cdots\ \ \ y_j\ \ \ \ \cdots\ \ \ y_m$	計
$x_1$	$p_{11}\hspace{5mm}p_{12}\ \ \ \cdots \ \ \ p_{1j}\ \ \ \cdots \ \ \ p_{1m}$	$p_1$
$x_2$	$p_{21}\hspace{5mm}p_{22}\ \ \ \cdots \ \ \ p_{2j}\ \ \ \cdots \ \ \ p_{2m}$	$p_2$
$\vdots$	$\hspace{9mm}\vdots$	$\vdots$
$x_i$	$p_{i1}\hspace{5mm}p_{i2}\ \ \ \cdots \ \ \ p_{ij}\ \ \ \cdots \ \ \ p_{im}$	$p_i$
$\vdots$	$\hspace{9mm}\vdots$	$\vdots$
$x_n$	$p_{n1}\hspace{5mm}p_{n2}\ \ \ \cdots \ \ \ p_{nj}\ \ \ \cdots \ \ \ p_{nm}$	$p_n$
計	$q_1\hspace{6mm}q_2\ \ \ \ \cdots \ \ \ q_j\ \ \ \ \cdots \ \ \ q_m$	1

　このように，2数の組 $(x_i,\ y_j)$ と確率 $p_{ij}$ の対応を $X$ と $Y$ の同時分布または同時確率分布(joint probability distribution)という．

　また，$x_i\ \ (i=1,2,\cdots,n)$ について，$P(X=x_i)$ というのは，上の表で横に足していった合計となる：

$$\begin{align*} P(X=x_i)&=p_{\,i1}+p_{\,i2}+\cdots+p_{\,i\,m}\\[5pt] &=p_i \end{align*}$$

　従って，確率変数 $X$ の分布は次のようになる：

$X$	$x_1\hspace{5mm}x_2\ \ \ \cdots\ \ \ x_n$	計
$P$	$p_1\hspace{5mm}p_2\ \ \ \cdots \ \ \ p_n$	1

　同様にして，$y_j\ \ (j=1,2,\cdots,m)$ について，$P(Y=y_j)$ というのは，上の表で縦に足していった合計となる：

$$\begin{align*} P(Y=y_j)&=p_{1j}+p_{2j}+\cdots+p_{nj}\\[5pt] &=q_j \end{align*}$$

　従って，確率変数 $Y$ の分布は次のようになる：

$Y$	$y_1\hspace{5mm}y_2\ \ \ \cdots\ \ \  y_m$	計
$P$	$q_1\hspace{5mm}q_2\ \ \ \cdots \ \ \ q_m$	1

　これら $X, Y$ のそれぞれの確率分布を周辺分布または周辺確率分布(marginal probability distribution)という．

例題　赤玉3個と白玉2個の合計5個が入った袋から，Aがまず2個取り出し，玉を元に戻さず，次にBが1個取り出す．AとBが取り出した赤玉の個数をそれぞれ $X, Y$ とするとき，次の各問いに答えよ．
（1）　$X$ と $Y$ の同時分布を求めよ．
（2）　$X$ の周辺分布を求めよ．
（3）　$Y$ の周辺分布を求めよ．

4.2　確率変数の和の期待値

　確率変数 $X,Y$ の確率分布が次のようであるとする．

　そして，$X,Y$ の同時分布が次のようであるとする．

$X\backslash Y$	$y_1$	$y_2$	計
$x_1$	$p_{11}$	$p_{12}$	$p_1$
$x_2$	$p_{21}$	$p_{22}$	$p_2$
計	$q_1$	$q_2$	$1$