高校数学[総目次]
数学B 第3章 統計的な推測
| スライド | ノート | 問題 | |
| 1. 確率変数と確率分布 | |||
| 2. 確率変数の期待値と分散 | |||
| 3. 確率変数の変換 | |||
| 4. 確率変数の和と期待値 | |||
| 5. 独立な確率変数と期待値・分散 | |||
| 6. 二項分布 | |||
| 7. 正規分布 | |||
| 8. 母集団と標本 | |||
| 9. 推定 | |||
| 10. 仮説検定 |
4．確率変数の和と期待値
4.1 同時分布
確率変数 $X,Y$ について，$X=a$ かつ $Y=b$ である確率を
\[P(X=a,Y=b)\]
と表す．
2つの確率変数 $X, Y$について，
$X$ のとる値：$x_1,x_2,\cdots,x_n$ の $n$ 個
$Y$ のとる値：$y_1,y_2,\cdots,y_m$ の $m$ 個
であるとし，$P(X=x_i,Y=y_j)$ を $p_{ij}$ で表すとき，次の表のようにまとめることができる：
| $X\backslash Y$ | $y_1\hspace{6mm}y_2\ \ \ \ \cdots\ \ \ y_j\ \ \ \ \cdots\ \ \ y_m$ | 計 |
| $x_1$ | $p_{11}\hspace{5mm}p_{12}\ \ \ \cdots \ \ \ p_{1j}\ \ \ \cdots \ \ \ p_{1m}$ | $p_1$ |
| $x_2$ | $p_{21}\hspace{5mm}p_{22}\ \ \ \cdots \ \ \ p_{2j}\ \ \ \cdots \ \ \ p_{2m}$ | $p_2$ |
| $\vdots$ | $\hspace{9mm}\vdots$ | $\vdots$ |
| $x_i$ | $p_{i1}\hspace{5mm}p_{i2}\ \ \ \cdots \ \ \ p_{ij}\ \ \ \cdots \ \ \ p_{im}$ | $p_i$ |
| $\vdots$ | $\hspace{9mm}\vdots$ | $\vdots$ |
| $x_n$ | $p_{n1}\hspace{5mm}p_{n2}\ \ \ \cdots \ \ \ p_{nj}\ \ \ \cdots \ \ \ p_{nm}$ | $p_n$ |
| 計 | $q_1\hspace{6mm}q_2\ \ \ \ \cdots \ \ \ q_j\ \ \ \ \cdots \ \ \ q_m$ | 1 |
このように，2数の組 $(x_i,\ y_j)$ と確率 $p_{ij}$ の対応を $X$ と $Y$ の同時分布または同時確率分布(joint probability distribution)という．
また，$x_i\ \ (i=1,2,\cdots,n)$ について，$P(X=x_i)$ というのは，上の表で横に足していった合計となる：
\[\begin{align*} P(X=x_i)&=p_{\,i1}+p_{\,i2}+\cdots+p_{\,i\,m}\\[5pt] &=p_i \end{align*}\]
従って，確率変数 $X$ の分布は次のようになる：
| $X$ | $x_1\hspace{5mm}x_2\ \ \ \cdots\ \ \ x_n$ | 計 |
| $P$ | $p_1\hspace{5mm}p_2\ \ \ \cdots\ \ \ p_n$ | 1 |
同様にして，$y_j\ \ (j=1,2,\cdots,m)$ について，$P(Y=y_j)$ というのは，上の表で縦に足していった合計となる：
\[\begin{align*}
P(Y=y_j)&=p_{1j}+p_{2j}+\cdots+p_{nj}\\[5pt]
&=q_j
\end{align*}\]
従って，確率変数 $Y$ の分布は次のようになる：
| $Y$ | $y_1\hspace{5mm}y_2\ \ \ \cdots\ \ \ y_m$ | 計 |
| $P$ | $q_1\hspace{5mm}q_2\ \ \ \cdots\ \ \ q_m$ | 1 |
これら $X, Y$ のそれぞれの確率分布を周辺分布または周辺確率分布(marginal probability distribution)という．
例題 赤玉3個と白玉2個の合計5個が入った袋から，Aがまず2個取り出し，玉を元に戻さず，次にBが1個取り出す．AとBが取り出した赤玉の個数をそれぞれ $X, Y$ とするとき，次の各問いに答えよ．
（1） $X$ と $Y$ の同時分布を求めよ．
（2） $X$ の周辺分布を求めよ．
（3） $Y$ の周辺分布を求めよ．
解答例を表示する
準備
\[\begin{align*}
P(X=0)&=\frac{_3{\rm C}_0\times {_2}{\rm C}_2}{_5{\rm C}_2}=\frac1{10}\\[5pt] P(X=1)&=\frac{_3{\rm C}_1\times{_2}{\rm C}_1}{_5{\rm C}_2}=\frac6{10}\\[5pt]
P(X=2)&=\frac{_3{\rm C}_2\times{_2}{\rm C}_0}{_5{\rm C}_2}=\frac3{10}\\[5pt]
\end{align*}\]
よって，
\[\begin{align*}
P(X=0,Y=0)&=\frac1{10}\times\frac03=0\\[5pt]
P(X=0,Y=1)&=\frac1{10}\times\frac33=\frac3{30}\\[5pt]
P(X=1,Y=0)&=\frac6{10}\times\frac13=\frac6{30}\\[5pt]
P(X=1,Y=1)&=\frac6{10}\times\frac23=\frac{12}{30}\\[5pt]
P(X=2,Y=0)&=\frac3{10}\times\frac23=\frac6{30}\\[5pt]
P(X=2,Y=1)&=\frac3{10}\times\frac13=\frac3{30}\\[5pt]
\end{align*}\]
(1)
| $X\backslash Y$ | 0 | 1 | 計 |
| 0 | $0$ | $\dfrac3{30}$ | $\dfrac1{10}$ |
| 1 | $\dfrac6{30}$ | $\dfrac{12}{30}$ | $\dfrac35$ |
| 2 | $\dfrac6{30}$ | $\dfrac3{30}$ | $\dfrac3{10}$ |
| 計 | $\dfrac25$ | $\dfrac35$ | $1$ |
(2)
| $X$ | 0 | 1 | 2 | 計 |
| $P$ | $\dfrac1{10}$ | $\dfrac35$ | $\dfrac3{10}$ | $1$ |
(3)
| $Y$ | 0 | 1 | 計 |
| $P$ | $\dfrac25$ | $\dfrac35$ | $1$ |
4.2 確率変数の和の期待値
確率変数 $X,Y$ の確率分布が次のようであるとする．
| $X$ | $x_1$ | $x_2$ | 計 |
| $P$ | $p_1$ | $p_2$ | $1$ |
| $Y$ | $y_1$ | $y_2$ | 計 |
| $P$ | $q_1$ | $q_2$ | $1$ |
そして，$X,Y$ の同時分布が次のようであるとする．
| $X\backslash Y$ | $y_1$ | $y_2$ | 計 |
| $x_1$ | $p_{11}$ | $p_{12}$ | $p_1$ |
| $x_2$ | $p_{21}$ | $p_{22}$ | $p_2$ |
| 計 | $q_1$ | $q_2$ | $1$ |