4．確率変数の和と期待値【ノート】
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高校数学[総目次]

数学B　第3章　統計的な推測

	スライド	ノート	問題
1. 確率変数と確率分布
2. 確率変数の期待値と分散
3. 確率変数の変換
4. 確率変数の和と期待値
5. 独立な確率変数と期待値・分散
6. 二項分布
7. 正規分布
8. 母集団と標本
9. 推定
10. 仮説検定

4．確率変数の和と期待値

4.1　同時分布

　確率変数 $X,Y$ について，$X=a$ かつ $Y=b$ である確率を

$$P(X=a,Y=b)$$

と表す．

　2つの確率変数 $X,Y$について，

　　$X$ のとる値：$x_1,x_2,\cdots ,x_n$ の $n$ 個
　　$Y$ のとる値：$y_1,y_2,\cdots ,y_m$ の $m$ 個

であるとし，$P(X=x_i,Y=y_j)$ を $p_{ij}$ で表すとき，次の表のようにまとめることができる：

$X\mathrm{\setminus }Y$	$y_1{y}_2\cdots y_j\cdots y_m$	計
$x_1$	$p_{11}{p}_{12}\cdots p_{1j}\cdots p_{1m}$	$p_1$
$x_2$	$p_{21}{p}_{22}\cdots p_{2j}\cdots p_{2m}$	$p_2$
$⋮$	$⋮$	$⋮$
$x_i$	$p_{i1}{p}_{i2}\cdots p_{ij}\cdots p_{im}$	$p_i$
$⋮$	$⋮$	$⋮$
$x_n$	$p_{n1}{p}_{n2}\cdots p_{nj}\cdots p_{nm}$	$p_n$
計	$q_1{q}_2\cdots q_j\cdots q_m$	1

　このように，2数の組 $(x_i,y_j)$ と確率 $p_{ij}$ の対応を $X$ と $Y$ の同時分布または同時確率分布(joint probability distribution)という．

　また，$x_i(i=1,2,\cdots ,n)$ について，$P(X=x_i)$ というのは，上の表で横に足していった合計となる：

$$\begin{array}{rl}P(X=x_i)& =p_{i1}+p_{i2}+\cdots +p_{im}\\ & =p_i\end{array}$$

　従って，確率変数 $X$ の分布は次のようになる：

$X$	$x_1{x}_2\cdots x_n$	計
$P$	$p_1{p}_2\cdots p_n$	1

　同様にして，$y_j(j=1,2,\cdots ,m)$ について，$P(Y=y_j)$ というのは，上の表で縦に足していった合計となる：

$$\begin{array}{rl}P(Y=y_j)& =p_{1j}+p_{2j}+\cdots +p_{nj}\\ & =q_j\end{array}$$

　従って，確率変数 $Y$ の分布は次のようになる：

$Y$	$y_1{y}_2\cdots y_m$	計
$P$	$q_1{q}_2\cdots q_m$	1

　これら $X,Y$ のそれぞれの確率分布を周辺分布または周辺確率分布(marginal probability distribution)という．

例題　赤玉3個と白玉2個の合計5個が入った袋から，Aがまず2個取り出し，玉を元に戻さず，次にBが1個取り出す．AとBが取り出した赤玉の個数をそれぞれ $X,Y$ とするとき，次の各問いに答えよ．
（1）　$X$ と $Y$ の同時分布を求めよ．
（2）　$X$ の周辺分布を求めよ．
（3）　$Y$ の周辺分布を求めよ．

4.2　確率変数の和の期待値

　確率変数 $X,Y$ の確率分布が次のようであるとする．

　そして，$X,Y$ の同時分布が次のようであるとする．

$X\mathrm{\setminus }Y$	$y_1$	$y_2$	計
$x_1$	$p_{11}$	$p_{12}$	$p_1$
$x_2$	$p_{21}$	$p_{22}$	$p_2$
計	$q_1$	$q_2$	$1$

　このとき，確率変数 $Z$ を $Z=X+Y$ とすると，

$$Z=x_i+y_j(i,j=1,2)$$

であり，$Z$ のとる値は

$$x_1+y_1,x_1+y_2,x_2+y_1,x_2+y_2$$

の4つで，確率は上の同時分布から次のようになる．

$Z$	$x_1+y_1$	$x_1+y_2$	$x_2+y_1$	$x_2+y_2$	計
$P$	$p_{11}$	$p_{12}$	$p_{21}$	$p_{22}$	$1$

　従って $Z$ の期待値は

よって，$E(X+Y)=E(X)+E(Y)$，すなわち

「和の期待値＝期待値の和」

が成り立つ．これは2つの確率変数について常に成り立つ重要な性質である．

　ここでは確率変数 $X,Y$ のとる値はそれぞれ2つずつであったが，一般に $X$ のとる値が $x_1,x_2,\cdots ,x_n$ の $n$ 個であり， $Y$ のとる値が $y_1,y_2,\cdots ,y_m$ の $m$ 個であっても成り立つ．(発展的補足参照)

　また，1節で見たように，$E(aX+b)=aE(X)+b$ であったから，次の2つの式を公式として挙げておく．

確率変数の和の期待値 　$a,b$ が定数のとき，確率変数 $X,Y$ について次が成り立つ． $$\begin{array}{rl}& [1]E(X+Y)=E(X)+E(Y)\\ & [2]E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y)\end{array}$$

発展的補足

　$E(X+Y)=E(X)+E(Y)$ は，$X$ のとる値が $x_1,x_2,\cdots ,x_n$ の $n$ 個， $Y$ のとる値が $y_1,y_2,\cdots ,y_m$ の $m$ 個である場合にも成り立つ．そのことを以下に示す．

　確率変数 $X,Y$ の同時分布が次のようであるとする．

$X\mathrm{\setminus }Y$	$y_1{y}_2\cdots y_j\cdots y_m$	計
$x_1$	$p_{11}{p}_{12}\cdots p_{1j}\cdots p_{1m}$	$p_1$
$x_2$	$p_{21}{p}_{22}\cdots p_{2j}\cdots p_{2m}$	$p_2$
$⋮$	$⋮$	$⋮$
$x_i$	$p_{i1}{p}_{i2}\cdots p_{ij}\cdots p_{im}$	$p_i$
$⋮$	$⋮$	$⋮$
$x_n$	$p_{n1}{p}_{n2}\cdots p_{nj}\cdots p_{nm}$	$p_n$
計	$q_1{q}_2\cdots q_j\cdots q_m$	1

　このとき，

$$\begin{array}{rl}E(X+Y)& =\sum _{i=1}^n\{\sum _{j=1}^m(x_i+y_j)p_{ij}\}\\ & =\sum _{i=1}^n\{\sum _{j=1}^m(x_i{p}_{ij}+y_j{p}_{ij})\}\\ & =\sum _{i=1}^n\left(\sum _{j=1}^m{x}_i{p}_{ij}\right)+\sum _{i=1}^n\left(\sum _{j=1}^m{y}_j{p}_{ij}\right)\\ & =\sum _{i=1}^n\left(x_i{\underset{―}{\sum _{j=1}^m{p}_{ij}}}_{\text{①}}\right)+{\underset{―}{\sum _{i=1}^n\left(\sum _{j=1}^m{y}_j{p}_{ij}\right)}}_{\text{②}}\end{array}$$

　ここで

①$=p_{i1}+p_{i2}+\cdots +p_{im}=p_i$

であり，また

$$\begin{array}{rl}\text{②}& =\sum _{j=1}^m\left(\sum _{i=1}^n{y}_j{p}_{ij}\right)\\ & =\sum _{j=1}^m\left(y_j\sum _{i=1}^n{p}_{ij}\right)\\ & =\sum _{j=1}^m{y}_j{q}_j\end{array}$$

　となるから結局

$$\begin{array}{rl}E(X+Y)& =\sum _{i=1}^n{x}_i{p}_i+\sum _{j=1}^m{y}_j{q}_j\\ & =E(X)+E(Y)\end{array}$$

■

例題　1円玉2枚と5円玉2枚を同時に投げるとき，表の面が出た硬貨の合計金額を $Z$ 円とする．$Z$ の期待値を求めよ．

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