1．確率変数と確率分布【ノート】
1人で学べる！高校数学

高校数学[総目次]

数学B　第3章　確率分布と統計的な推測

	スライド	ノート	問題
1. 確率変数と確率分布
2. 確率変数の期待値と分散
3. 確率変数の変換
4. 確率変数の和と期待値
5. 独立な確率変数と期待値・分散
6. 二項分布
7. 正規分布
8. 母集団と標本
9. 推定
10. 仮説検定

1．確率変数と確率分布

1.1　確率変数とは

確率変数とは何か．通常の変数との違いはどこか．

例　2枚の硬貨を同時に投げたとき，表の面が出た枚数を $X$ とすると，$X$ の値は 0，１，２ のいずれかである．そして，それぞれの値をとる確率 $P$ は次のようになる：

$X$	0	1	2	計
$P$	${\displaystyle \frac{1}{4}}$	${\displaystyle \frac{1}{2}}$	${\displaystyle \frac{1}{4}}$	1

　この $X$ のように，試行によって値が決まる変数を確率変数(random variable)という．確率変数は $X$ のように通常大文字を用いて表す．

　確率変数と通常の変数との違いは，確率変数には各値に対して背後に確率が1つ対応しているというところにある．

確率変数とは 　試行の結果によって値が決まる変数を確率変数という．確率変数には各値に対して確率が与えられている．

　$X=k$ のときの確率を $P(X=k)$ と表す．上の例では，

$$P(X=0)=\frac{1}{4},P(X=1)=\frac{1}{2},P(X=2)=\frac{1}{4}$$

となる．確率であるからこれらの合計は必ず1になる：

$$\begin{array}{rl}P(& X=0)+P(X=1)+P(X=2)\\ =& \frac{1}{4}+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\\ =& 1\end{array}$$

　また，

$$\begin{array}{rl}P(X\geqq 1)& =P(X=1)+P(X=2)\\ & =\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\\ & =\frac{3}{4}\end{array}$$

といったように，カッコ内に不等式で条件を与えることもできる．

発展的補足

確率変数について深く理解する

　確率変数について例を用いてやや詳細に説明する．

　例として，さいころ1回投げを考える．しかしここではわかり易くするために，さいころには1から6ではなく，「ア，イ，ウ，エ，オ，カ」の文字が1つずつ書かれているとする．

　この場合の「試行」とは

さいころを1回投げる

である．この試行の結果さいころの目の出方は

ア，イ，ウ，エ，オ，カ

の6通りであり，これら1つ1つを根元事象という．この根元事象の集合を $U$ とする：

$U=\{$ア，イ，ウ，エ，オ，カ$\}$

　次に集合 $U$ の3つの部分集合 $A_1,A_2,A_3$ を次のように定める．

$A_1=\{$ア，イ，ウ$\},A_2=\{$エ，オ$\},A_3=\{$カ$\}$

　$A_1,A_2,A_3$ はそれぞれさいころを1回投げて「ア，イ，ウの目が出る事象」「エ，オの目が出る事象」「カの目が出る事象」に対応している．このように「集合」と「事象」を同じものとみなすことは既に数学A で学んだところである．また，

$A_1\cup A_2\cup A_3=U$
$A_1\cap A_2=\varnothing ,A_2\cap A_3=\varnothing ,A_3\cap A_1=\varnothing$

であることも注意しておく．ただし $\varnothing$ は空集合を表す．

　ここで確率変数 $X$ を導入する．確率変数とは試行の結果によって現れた事象について定まる「数」であるから，例えば次のようなものである．

試行の結果が集合 $A_1$ の要素のとき，$X=10$
試行の結果が集合 $A_2$ の要素のとき，$X=20$
試行の結果が集合 $A_3$ の要素のとき，$X=30$

　つまり確率変数 $X$ が取りうる値は $10,20,30$ の3つである．

　確率変数の背後には確率が対応している．それらは

$$\begin{array}{rl}& P(X=10)=P(A_1)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\\ & P(X=20)=P(A_2)=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}\\ & P(X=10)=P(A_3)=\frac{1}{6}\end{array}$$

であり，

$$\begin{array}{rl}& P(X=10)+P(X=20)+P(X=30)\\ =& P(A_1)+P(A_2)+P(A_3)\\ =& \frac{3}{6}+\frac{2}{6}+\frac{1}{6}\\ =& 1\end{array}$$

となっている．$A_1,A_2,A_3$ は排反かつ $A_1\cup A_2\cup A_3=U$ より

$$\begin{array}{rl}& P(X=10)+P(X=20)+P(X=30)\\ =& P(A_1)+P(A_2)+P(A_3)\\ =& P(A_1\cup A_2\cup A_3)\\ =& P(U)\\ =& 1\end{array}$$

と計算することもできる．

　今，先に全体集合 $U$ の部分集合 $A_1,A_2,A_3$ を決めたのちに確率変数 $X$ を導入したが，今度は逆に確率変数 $X$ を先に導入することもできる．例えば，$X$ が3つの数 $10,20,30$ をとるとし，

$X=10$ のとき，対応する集合(事象)は $A_1$
$X=20$ のとき，対応する集合(事象)は $A_2$
$X=30$ のとき，対応する集合(事象)は $A_3$

とすればよい．

　以上により，確率変数 $X$ を導入するということは，全事象 $U$ をある特徴，性質等々によって互いに排反な事象 $A_1,A_2,\cdots ,A_n$ に分けることに他ならず，かつそれらが

$$A_1\cup A_2\cup \cdots \cup A_n=U$$

となっているのである．

1.2　確率分布

確率分布とは「確率変数の値→確率」の対応関係を表したもの

　確率変数 $X$ の値と，そのときの確率との対応関係を確率分布(probability distribution)，あるいは単に分布という．前節で例に挙げた2枚の硬貨を同時に投げるときの表の面が出た枚数を表す確率変数 $X$ の分布を再掲すると，次のようになる．

$$P(X=0)=\frac{1}{4},P(X=1)=\frac{1}{2},P(X=2)=\frac{1}{4}$$

　確率分布は次のように表にすると見やすい．

$X$	0	1	2	計
$P$	${\displaystyle \frac{1}{4}}$	${\displaystyle \frac{1}{2}}$	${\displaystyle \frac{1}{4}}$	1

　また，$X$ がこのような確率になっているとき，$\mathit{X}$ はこの分布に従うという．

確率分布 　確率変数 $X$ に対して，それぞれの値のとる確率が $$P(X=x_k)=f(x_k)$$ で与えられるとき，$f(x)$ を$X$ の確率分布という．$X$ のとりうる値が $x_1,x_2,\cdots ,x_n$ の $n$ 個のとき， $$\begin{array}{rl} & f(x_k)\geqq 0(k=1,2,\cdots ,n)\\ & \sum _{k=1}^{n}f(x_k)=1\end{array}$$ が成り立っている．

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2. 確率変数の期待値と分散
3. 確率変数の変換
4. 確率変数の和と期待値
5. 独立な確率変数と期待値・分散
6. 二項分布
7. 正規分布
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