1. 事象と確率(ノート)
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数学A　第2章　確率

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1. 事象と確率	[無料]
2. 確率の基本性質	[無料]
3. 独立な試行の確率	[会員]
4. 反復試行の確率	[会員]
5. 条件付き確率	[会員]

1. 事象と確率

1.1　試行と事象

試行

　同じ条件・状態の下でできる実験や観察

事象

　試行によっておこる事柄

根元事象	さいころを1回投げたとき，「1の目が出る」といった，もうそれ以上分解できない事象． （「偶数の目が出る」は根元事象ではない．）
全事象または 標本空間	1つの試行における根元事象全体の集合
空事象	空集合 $\emptyset$ で表される事象のことで，決して起こらない事象．

　事象と集合は完全に対応している．以後，全体集合 $U$ の部分集合$A$ と事象A を区別しないで同じものを表しているものとする．

例　試行：さいころを1回だけ投げる場合
　根元事象：
　　　1の目が出る→「1」で表す．
　　　2の目が出る→「2」で表す．
　　　3の目が出る→「3」で表す．
　　　4の目が出る→「4」で表す．
　　　5の目が出る→「5」で表す．
　　　6の目が出る→「6」で表す．
　全事象(または標本空間)：
　　　集合 $\{1,2,3,4,5,6\}$ で表される．
　空事象：
　　　例　7の目が出る．
　　　　　この事象に対応する集合を $E$ とすれば，
　　　　　　　　$E=\emptyset$

発展的補足~事象とは？

　「事象とは何か？」ということを難しく言えば，それは全事象(標本空間)という名の集合の部分集合のことである．この例の場合の標本空間は $\{1,2,3,4,5,6\}$ という集合であり，例えば「偶数の目が出るという事象」とは，標本空間の部分集合 $\{2,4,6\}$ を意味するのである．このように確率論では「事象＝集合」という関係が本質的であって，この言い方の方がかえってしっくりくるという向きもあろう．

1.2　確率

同様に確からしい　(←用語)

　根元事象のどれについても，起こることが同程度に期待されること．特定の事象が出やすいとか出にくいということがないときをいう．

例　さいころ1回投げ
　1～6の目の出方は，同程度であると期待される．(1が出やすいとか，6が出にくいということがない．)　よって，さいころの目の出方は同様に確からしいといえる．

---

　ある試行で起こり得るすべての場合が $n$ 通りあり，そのどれもが同様に確からしいとする．このうち事象Aの起こる場合が $a$ 通りであるとき， \[\frac an\] を事象Aの起こる確率といい，$\boldsymbol P(A)$ で表す：

確率の定義　ある試行で起こりうることが全部で $n$ 通りあり，そのどれもが同様に確からしいとする．このうち，事象Aの起こる場合が $a$ 通りであるとき，\[P(A)=\frac an\]

例題　2つのさいころA,Bを同時に投げたとき，次の確率を求めよ．
(1) 出た目の和が4になる．
(2) 出た目の積が奇数になる．

答

　さいころA，Bの出た目をそれぞれ $a,\ b$ として根元事象を$(a, b)$ で表すと，1回の試行によって起こり得るすべての場合は次の36通りで，これらは同様に確からしい．

(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)
(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)
(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)
(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)
(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)
(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)

(1)　

和が4になるのは

(1,3), (2,2), (3,1)

の3通りであるから求める確率は，

\[\frac3{36}=\underline{\boldsymbol{\frac1{12}}}\]

(2)　

　積が奇数になるのは $a, b$ がともに奇数となるときで，図の網掛け部分の9通りがあるから，求める確率は，

\[\frac9{36}=\underline{\boldsymbol{\frac14}}\]

補足　[確率と面積の関係]

　確率は面積と関連付けておくと理解しやすい．例えばこの例題の場合，全事象を1辺の長さが 6cm の正方形の面積と考える：

　「同様に確からしい」というのは根元事象の面積が等しい(ここではどれも $1{\rm cm}^2$ )ということである．

　この考え方で例題の(1)を考えると，確率は

\[\frac{\mbox{事象が占める面積}}{\mbox{全体の面積}}=\frac{3{\rm cm}^2}{36{\rm cm}^2}=\frac1{12}\]

となる．

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