5. 条件付き確率(ノート)
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高校数学[総目次]

数学A　第2章　確率

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5. 条件付き確率

5.1　条件付き確率

　事象Aが起こるという条件の下で，事象Bが起こる確率を，条件付き確率といい， \[P_A(B)\] で表す．
　$P_A(B)$ は次の式で定義される：

条件付き確率\[P_A(B)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}\]

例題　大小2つのさいころを投げたとき，ともに3以下の目が出たという条件のもと，出た目の和が4である確率を求めよ．

答

事象$A$：ともに3以下の目が出る．
事象$B$：和が3になる．

\[\begin{align*} P(A)&=\frac9{36}\\[5pt] P(A\cap B)&=\frac3{36} \end{align*}\]

　よって，

\[P_A(B)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}=\frac{\frac3{36}}{\frac9{36}}=\frac39=\underline{\boldsymbol{\frac13}}\]

補足

　条件付き確率を面積で考えると，

ともに3以下の目が出る領域 ($3^2=9{\rm cm}^2$)

に占める

和が4となる領域 ($3{\rm cm}^2$)

の割合，即ち $\dfrac39=\dfrac13$ となる．

5.2　確率の乗法定理

　条件付き確率 $P_A(B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}$ の分母を払うと，

\[P(A\cap B)=P(A)P_A(B)\]

という式が得られる．これを確率の乗法定理という．
　$P(A\cap B)$ を求める際，右辺の $P_A(B)$ が容易に計算できる場合などに威力を発揮する．

例　10本中2本が当たりのくじを10人が順番に引くとき，2人目が当たりくじを引く確率．（ただし引いたくじは戻さない．）

　事象A：1人目が当たる
　事象B：2人目が当たる

「1人目も2人目も当たり $(A\cap B)$」と「1人目がはずれ，2人目が当たり $(\overline{A}\cap B)$」 の排反事象に分けて，

\[\begin{align*} P(B)&=P(A\cap B)+P(\overline{A}\cap B)\\[5pt] &=P(A)P_A(B)+P(\overline{A})P_{\bar{A}}(B)\\[5pt] &=\frac2{10}\cdot\frac19+\frac8{10}\cdot\frac29\\[5pt] &=\frac{2+16}{90}\\[5pt] &=\underline{\boldsymbol{\frac15}} \end{align*}\]

※2行目の $P_A(B)$ は，「1人目が当たったという条件の下で2人目が当たりくじを引く確率」，即ち「9本中1本が当たりのくじで，当たりくじを引く確率」を意味する．$P_{\bar{A}}(B)$ も同様．

補足

　$n$ 本中 $a$ 本が当たりのくじ引きで，引いたくじを戻す場合に当たる確率が皆等しく $\dfrac an$ になるのは当然として，引いたくじを戻さない場合であっても，当たりが出る確率は何番目に引く人でも皆同じで $\dfrac an$ となる．

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