このページにある内容は,こちらのスライド(会員向け)でわかり易く説明しています.

高校数学ノート[総目次]

数学A 第2章 確率

スライド↓     ノート↓
1. 事象と確率 無料    【ノート
2. 確率の基本性質 無料  【ノート
3. 独立な試行の確率     【ノート
4. 反復試行の確率      【ノート
5. 条件付き確率       【ノート

※【ノート】はスライドの内容をまとめたものです.

5. 条件付き確率

5.1 条件付き確率

 事象Aが起こるという条件の下で,事象Bが起こる確率を,条件付き確率といい, \[P_A(B)\] で表す.
 $P_A(B)$ は次の式で定義される:

条件付き確率\[P_A(B)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}\]

 大小2つのさいころを投げたとき,ともに3以下の目が出たという条件のもと,出た目の和が4である確率.

補足

5.2 確率の乗法定理

 条件付き確率 $P_A(B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}$ の分母を払うと,

\[P(A\cap B)=P(A)P_A(B)\]

という式が得られる.これを確率の乗法定理という.
 $P(A\cap B)$ を求める際,右辺の $P_A(B)$ が容易に計算できる場合などに威力を発揮する.

 10本中2本が当たりのくじを10人が順番に引くとき,2人目が当たりくじを引く確率.(ただし引いたくじは戻さない.)

 事象A:1人目が当たる
 事象B:2人目が当たる

「1人目も2人目も当たり $(A\cap B)$」と「1人目がはずれ,2人目が当たり $(\overline{A}\cap B)$」 の排反事象に分けて,

\[\begin{align*} P(B)&=P(A\cap B)+P(\overline{A}\cap B)\\[5pt] &=P(A)P_A(B)+P(\overline{A})P_{\bar{A}}(B)\\[5pt] &=\frac2{10}\cdot\frac19+\frac8{10}\cdot\frac29\\[5pt] &=\frac{2+16}{90}\\[5pt] &=\underline{\boldsymbol{\frac15}} \end{align*}\]

※2行目の $P_A(B)$ は,「1人目が当たったという条件の下で2人目が当たりくじを引く確率」,即ち「9本中1本が当たりのくじで,当たりくじを引く確率」を意味する.$P_{\bar{A}}(B)$ も同様.

補足

 $n$ 本中 $a$ 本が当たりのくじは,引いたくじを戻さない場合であっても,当たりが出る確率は何番目に引く人でも皆同じで $\dfrac an$ となる.


高校数学ノート[総目次]

数学A 第2章 確率

スライド↓     ノート↓
1. 事象と確率 無料    【ノート
2. 確率の基本性質 無料  【ノート
3. 独立な試行の確率     【ノート
4. 反復試行の確率      【ノート
5. 条件付き確率       【ノート

※【ノート】はスライドの内容をまとめたものです.