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高校数学ノート[総目次]

数学A 第2章 確率

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1. 事象と確率 [無料]  
2. 確率の基本性質 [無料]  
3. 独立な試行の確率 [会員]  
4. 反復試行の確率 [会員]  
5. 条件付き確率 [会員]  

5. 条件付き確率

5.1 条件付き確率

 事象Aが起こるという条件の下で,事象Bが起こる確率を,条件付き確率といい, \[P_A(B)\] で表す.
 $P_A(B)$ は次の式で定義される:

条件付き確率\[P_A(B)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}\]

例題 大小2つのさいころを投げたとき,ともに3以下の目が出たという条件のもと,出た目の和が4である確率を求めよ.

事象$A$:ともに3以下の目が出る.
事象$B$:和が3になる.

\[\begin{align*} P(A)&=\frac9{36}\\[5pt] P(A\cap B)&=\frac3{36} \end{align*}\]

 よって,

\[P_A(B)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}=\frac{\frac3{36}}{\frac9{36}}=\frac39=\underline{\boldsymbol{\frac13}}\]

補足

 条件付き確率を面積で考えると,

ともに3以下の目が出る領域 ($3^2=9{\rm cm}^2$)

に占める

和が4となる領域 ($3{\rm cm}^2$)

の割合,即ち $\dfrac39=\dfrac13$ となる.

5.2 確率の乗法定理

 条件付き確率 $P_A(B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}$ の分母を払うと,

\[P(A\cap B)=P(A)P_A(B)\]

という式が得られる.これを確率の乗法定理という.
 $P(A\cap B)$ を求める際,右辺の $P_A(B)$ が容易に計算できる場合などに威力を発揮する.

 10本中2本が当たりのくじを10人が順番に引くとき,2人目が当たりくじを引く確率.(ただし引いたくじは戻さない.)

 事象A:1人目が当たる
 事象B:2人目が当たる

「1人目も2人目も当たり $(A\cap B)$」と「1人目がはずれ,2人目が当たり $(\overline{A}\cap B)$」 の排反事象に分けて,

\[\begin{align*} P(B)&=P(A\cap B)+P(\overline{A}\cap B)\\[5pt] &=P(A)P_A(B)+P(\overline{A})P_{\bar{A}}(B)\\[5pt] &=\frac2{10}\cdot\frac19+\frac8{10}\cdot\frac29\\[5pt] &=\frac{2+16}{90}\\[5pt] &=\underline{\boldsymbol{\frac15}} \end{align*}\]

※2行目の $P_A(B)$ は,「1人目が当たったという条件の下で2人目が当たりくじを引く確率」,即ち「9本中1本が当たりのくじで,当たりくじを引く確率」を意味する.$P_{\bar{A}}(B)$ も同様.

補足

 $n$ 本中 $a$ 本が当たりのくじは,引いたくじを戻さない場合であっても,当たりが出る確率は何番目に引く人でも皆同じで $\dfrac an$ となる.


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