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高校数学ノート[総目次]

数学A 第2章 確率

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1. 事象と確率 [無料]  
2. 確率の基本性質 [無料]  
3. 独立な試行の確率 [会員]  
4. 反復試行の確率 [会員]  
5. 条件付き確率 [会員]  

2. 確率の基本性質

2.1 積事象と和事象

 全事象を表す集合を $U$,事象 $A$,$B$ を表す $U$ の部分集合をそれぞれ $A$,$B$ とする.

$A\cap B$

積事象

「事象 $A$,$B$ がともに起こる」という事象で,

\[A\cap B\]

で表す.

$A\cup B$

和事象

「事象 $A$ または $B$ が起こる」という事象で,

\[A\cup B\]

で表す.

2.2 排反事象

 さいころ1回投げ

 事象A:奇数の目が出る → $A=\{1,3,5\}$
 事象B:2の目が出る  → $B=\{2\}$

 この2つの事象は同時には起こらない.このとき,事象AとBは互いに排反であるという.

 即ち排反とは,$A\cap B=\emptyset$ となるときをいう.

2.3 確率の基本性質

全部の場合    :$n$ 通り(同様に確からしい)
事象Aの起こる場合:$a$ 通り

 $0\leqq a\leqq n$ であるから,

\[\frac0n\leqq \frac an\leqq \frac nn\] \[\therefore 0\leqq P(A)\leqq 1\]

補足

 左辺の $\dfrac 0n$ 即ち $0$ は空事象の確率,右辺の $\dfrac nn$ 即ち $1$ は全事象の確率を表す.

確率の基本性質 $U$ を全事象,$A$ をある事象とするとき,\begin{align*} &[1]\ \ 0\leqq P(A) \leqq 1\\[5pt] &[2]\ \ P(\emptyset)\!=\!0,\ \ P(U)\!=\!1\\ \end{align*}

2.4 和事象の確率

\[n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)\]

 この両辺を $n(U)$ で割ると,

\[\frac{n(A\cup B)}{n(U)}=\frac{n(A)}{n(U)}+\frac{n(B)}{n(U)}-\frac{n(A\cap B)}{n(U)}\]

\[\therefore P(A\cup B)=P(A)+P(B)+P(A\cap B)\]

 特に,事象 $A$ と事象 $B$ が同時に起こらない,すなわち排反のとき,$A\cap B=\emptyset$ であるから,$P(A\cap B)=0$.よって,

\[P(A\cup B)=P(A)+P(B)\]

和事象の確率 2つの事象 $A,\ B$ について,\[P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\] 特に $A$ と $B$ が排反のとき,\[P(A\cup B)=P(A)+P(B)\]

例題 さいころを1回投げるとき,偶数の目が出る,または4以上の目が出る確率を求めよ.

 全事象U:$U=\{1,2,3,4,5,6\}$
 事象A「偶数の目が出る」:$A=\{2,4,6\}$
 事象B「4以上の目が出る」:$B=\{4,5,6\}$
 事象AかつB「偶数かつ4以上」:$A\cap B=\{4,6\}$

 確率はそれぞれ \[\begin{align*} P(A)&=\frac36=\frac12\\[5pt] P(B)&=\frac36=\frac12\\[5pt] P(A\cap B)&=\frac26=13 \end{align*}\]  よって, \[\begin{align*} P(A\cup B)&=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\\[5pt] &=\frac12+\frac12-\frac13\\[5pt] &=\underline{\boldsymbol {\frac23}} \end{align*}\]

補足

 直接計算すれば,$A\cup B=\{2,4,5,6\}$ より, \[P(A\cup B)=\frac46=\underline{\boldsymbol{\frac23}}\]

2.5 余事象の確率

 事象 $A$ に対して,$A$ が起こらないという事象を $A$ の余事象といい,$\overline{A}$ で表す.

 $A\cap \overline{A}=\emptyset$ により $P(A\cap \overline{A})=0$ であるから,

\[P(A\cup \overline{A})=P(A)+P(\overline{A})\]

 また全事象を $U$ とすると,$A\cup\overline{A}=U$ であるから左辺は1となり,次の関係を得る:

\[P(A)=1-P(\overline{A})\]

例題 2つのさいころを同時に投げるとき,次の確率を求めよ.
(1) 出た目の和が4にならない.
(2) 出た目の積が偶数.

ポイント
 「$\cdots$ ではない確率」(否定的表現)
 「少なくとも $\cdots$ である確率」
  → 余事象の確率を考えてみる.

(1) 和が4にならない事象を $A$ とすると,$\overline{A}$ は「和が4になる」という事象である.

$A$ の余事象

\[P(\overline{A})=\frac3{36}=\frac1{12}\]

 よって求める確率 $P(A)$ は,

\[P(A)=1-P(\overline{A})=1-\frac1{12}=\underline{\boldsymbol{\frac{11}{12}}}\]

(2) 積が偶数になるのは,「少なくとも一方の目が偶数」のときである.この余事象は,「両方とも奇数の目が出る」であるから,余事象の確率は,$\dfrac9{36}=\dfrac14$.

 従って求める確率は,

\[1-\frac14=\underline{\boldsymbol{\frac34}}\]


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