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高校数学ノート[総目次]

数学A 第2章 確率

スライド↓     ノート↓
1. 事象と確率 無料    【ノート
2. 確率の基本性質 無料  【ノート
3. 独立な試行の確率     【ノート
4. 反復試行の確率      【ノート
5. 条件付き確率       【ノート

※【ノート】はスライドの内容をまとめたものです.

2. 確率の基本性質

2.1 積事象と和事象

2.2 排反事象

2.3 確率の基本性質

全部の場合    :$n$ 通り(同様に確からしい)
事象Aの起こる場合:$a$ 通り

 $0\leqq a\leqq n$ であるから,

\[\frac0n\leqq \frac an\leqq \frac nn\] \[\therefore 0\leqq P(A)\leqq 1\]

補足

 左辺の $\dfrac 0n$ 即ち $0$ は空事象の確率,右辺の $\dfrac nn$ 即ち $1$ は全事象の確率を表す.

確率の基本性質 $U$ を全事象,$A$ をある事象とするとき,\begin{align*} &[1]\ \ 0\leqq P(A) \leqq 1\\[5pt] &[2]\ \ P(\emptyset)\!=\!0,\ \ P(U)\!=\!1\\ \end{align*}

2.4 和事象の確率

和事象の確率 2つの事象 $A,\ B$ について,\[P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\] 特に $A$ と $B$ が排反のとき,\[P(A\cup B)=P(A)+P(B)\]

 さいころを1回投げるとき,偶数の目が出る,または4以上の目が出る確率

 全事象U:$U=\{1,2,3,4,5,6\}$
 事象A「偶数の目が出る」:$A=\{2,4,6\}$
 事象B「4以上の目が出る」:$B=\{4,5,6\}$
 事象AかつB「偶数かつ4以上」:$A\cap B=\{4,6\}$

 確率はそれぞれ \[\begin{align*} P(A)&=\frac36=\frac12\\[5pt] P(B)&=\frac36=\frac12\\[5pt] P(A\cap B)&=\frac26=13 \end{align*}\]  よって, \[\begin{align*} P(A\cup B)&=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\\[5pt] &=\frac12+\frac12-\frac13\\[5pt] &=\underline{\boldsymbol {\frac23}} \end{align*}\]

補足

 直接計算すれば,$A\cup B=\{2,4,5,6\}$ より, \[P(A\cup B)=\frac46=\underline{\boldsymbol{\frac23}}\]

2.5 余事象の確率

 2つのさいころを同時に投げるとき,次の確率は?
(1) 出た目の和が4にならない
(2) 出た目の積が偶数


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数学A 第2章 確率

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1. 事象と確率 無料    【ノート
2. 確率の基本性質 無料  【ノート
3. 独立な試行の確率     【ノート
4. 反復試行の確率      【ノート
5. 条件付き確率       【ノート

※【ノート】はスライドの内容をまとめたものです.