等式の証明の基本となる4つの方法をスライドでやさしく解説

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数学Ⅱ　第1章　式と証明

	スライド	ノート	問題
1. 整式の除法
2. 分数式
3. 恒等式
4. 等式の証明
5. 不等式の証明

4. 等式の証明

4.1　等式の証明

　等式 $A = B$ の証明の仕方としては，次のような方法がある．

等式 $A = B$ の証明の仕方①　 $A = \dots = B$
　　(左辺を変形して右辺を導く．)
②　 $B = \dots = A$
　　(右辺を変形して左辺を導く．)
③　 $A = \dots = C, B = \dots = C$
　　(左辺・右辺共に変形して，同じ式Cを導く．)
④　 $A - B = \dots = 0$
　　( (左辺) $-$ (右辺) を計算して0を導く．)

例題　等式 $(x + y)^{2} - 2 x y = x^{2} + y^{2}$ を証明せよ．

①　[左辺を変形して右辺を導く] $\begin{aligned} (左辺) & = (x^{2} + 2 x y + y^{2}) - 2 x y \\ = x^{2} + y^{2} \\ = (右辺) \end{aligned}$

■

②　[右辺を変形して左辺を導く] $\begin{aligned} (右辺) & = x^{2} + y^{2} + (2 x y - 2 x y) \\ = (x^{2} + 2 x y + y^{2}) - 2 x y \\ = (x + y)^{2} - 2 x y \\ = (左辺) \end{aligned}$

■

④　[(左辺) $-$ (右辺) を計算して0を導く] $\begin{aligned} (左辺) - (右辺) & = {(x + y)^{2} - 2 x y} - (x^{2} + y^{2}) \\ = {(x^{2} + 2 x y + y^{2}) - 2 x y} - (x^{2} + y^{2}) \\ = (x^{2} + y^{2}) - (x^{2} + y^{2}) \\ = 0 \end{aligned}$

■

注意

　次のような証明の書き方は正しくない．

$\begin{aligned} (x + y)^{2} - 2 x y & = x^{2} + y^{2} \dots (*) \\ (x^{2} + 2 x y + y^{2}) - 2 x y & = x^{2} + y^{2} \dots (* *) \\ x^{2} + y^{2} & = x^{2} + y^{2} \end{aligned}$

　 $(*)$ の「 $=$ 」をこれから示そうというのであるから， $(*)$ の左辺を変形しただけの $(* *)$ も，「 $=$ 」が成り立つかどうかはわかっていない．（「 $(*)$ を示すことは， $(* *)$ を示すことと同値で， $\dots$ 」などときちんと書いていくのならよいが．．．）

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数学Ⅱ　第1章　式と証明

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2. 分数式
3. 恒等式
4. 等式の証明
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4.1 等式の証明

注意

4.1　等式の証明