高校数学[総目次]
数学Ⅱ 第1章 式と証明
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スライド |
ノート |
問題 |
1. 整式の除法 |
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2. 分数式 |
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3. 恒等式 |
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4. 等式の証明 |
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5. 不等式の証明 |
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演習問題
問題1【発展】
定数 に対して,平面上の点 を点 に移す操作を考える.ただし, である. を0でない定数とする.放物線 上のすべての点は,この操作によって 上に移る. を求めよ.
(一橋大)
定数 に対して,平面上の点 を点 に移す操作を考える.ただし, である. を0でない定数とする.放物線 上のすべての点は,この操作によって 上に移る. を求めよ.
(一橋大)
この問題で必要な知識は教科書の範囲から一歩も出ませんが,難関大入試問題ではこのように一見して問題設定が複雑そうで,どう対処してよいかわからなくなりがちです.この問題文で注目すべき箇所は「放物線 上のすべての点は,この操作によって 上に移る」という記述です.この「すべて」とか「あらゆる」などの表現は恒等式との親和性が高いです.
解答
点 が 上にあるとき
…①
が成り立つ.またこの点を題意の操作で移動した点 も 上にあるとき
…②
が成り立つ. は定数であることに注意すると,①を②に代入して を消去し,得られた についての等式は,あらゆる について成り立つから についての恒等式である.
恒等式とわかれば,このあとの基本解法は係数比較です.
②の右辺における の最高次の項は, から得られる の項で,
の3次以下の項)
となるからその係数は である.一方,②の左辺は の2次式だから,これが についての恒等式のとき, である.よって .従って②は
となる.左辺の に①を代入すると
係数を比較して
より よって
1° のとき
となるから (不適)
2° のとき
となるから (適する)
以上により