3．極形式【演習問題】｜スライドで学ぶ高校数学

高校数学[総目次]

数学C　第2章　複素平面

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1. 複素平面
2. 複素数が表す図形
3. 極形式
4. ド・モアブルの定理
5. 複素数と図形

演習問題

解答

■

　直線PQの傾きが $\sqrt{2}$ であるから，△PQRが正三角形のとき，3点P，Q，Rは図のようにとってよい（補足参照 )．Pの座標を $(p,p^2)$ とすると，Qの座標は $(p+{\displaystyle \frac{a}{\sqrt{3}}},p^2+{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}a)$ と表せる．Qも放物線 $y=x^2$ 上の点であるから

$$p^2+{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}a={(p+{\displaystyle \frac{a}{\sqrt{3}}})}^2$$

　展開して　$p^2+{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}a=p^2+2p\cdot {\displaystyle \frac{a}{\sqrt{3}}}+{\left({\displaystyle \frac{a}{\sqrt{3}}}\right)}^2$

　整理して　$\sqrt{2}=2p+{\displaystyle \frac{a}{\sqrt{3}}}$

　よって $p$ について解くと，

$p={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}-A$　…①

　ただし

$${\displaystyle \frac{a}{2\sqrt{3}}}=A$$

とおいた．

　ここで，3点P，Q，Rを複素平面上に移して，順に3点 $\alpha$，$\beta$，$\gamma$ に対応させる．このとき

$$\begin{array}{rl}\alpha & =p+p^{2}i\\ \beta & =p+{\displaystyle \frac{a}{\sqrt{3}}}+(p^2+{\displaystyle \frac{\sqrt{2}a}{\sqrt{3}}})i\end{array}$$

と考えることができる．原点を中心とする ${\displaystyle \frac{\pi }{3}}$ の回転移動を表す複素数 ${\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}i$ を $\rho$ (ロー，ギリシャ文字)とおくと，点 $\gamma$ は，点 $\beta$ を点 $\alpha$ を中心として ${\displaystyle \frac{\pi }{3}}$ だけ回転移動した点であるから

$$\gamma =(\beta -\alpha )\rho +\alpha$$

と表せる．この式の右辺を左から順に計算していくと，

$$\beta -\alpha ={\displaystyle \frac{a}{\sqrt{3}}}+{\displaystyle \frac{\sqrt{2}a}{\sqrt{3}}}i={\displaystyle \frac{a}{\sqrt{3}}}(1+\sqrt{2}i)$$

$$\begin{array}{rl}(\beta -\alpha )\rho & ={\displaystyle \frac{a}{\sqrt{3}}}(1+\sqrt{2}i)({\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}i)\\ & ={\displaystyle \frac{a}{2\sqrt{3}}}\{1-\sqrt{6}+(\sqrt{2}+\sqrt{3})i\}\end{array}$$

　上で ${\displaystyle \frac{a}{2\sqrt{3}}}=A$ とおいたから，

$$(\beta -\alpha )\rho =A\{1-\sqrt{6}+(\sqrt{2}+\sqrt{3})i\}$$

と表せる．よって

$$\begin{array}{rl}\gamma & =(\beta -\alpha )\rho +\alpha \\ & =A(1-\sqrt{6})+p+\{A(\sqrt{2}+\sqrt{3})+p^2\}i\end{array}$$

　故に点 $\gamma$ を元の $xy$ 平面上の点Rに戻すと，Rの座標は $$(A(1-\sqrt{6})+p,A(\sqrt{2}+\sqrt{3})+p^2)$$

となる．Rも放物線 $y=x^2$ 上の点であるから

$$A(\sqrt{2}+\sqrt{3})+p^2={\{A(1-\sqrt{6})+p\}}^2$$

　右辺を展開して

$$A(\sqrt{2}+\sqrt{3})+p^2=A^2(1-\sqrt{6}{)}^2+2(1-\sqrt{6})Ap+p^2$$

　整理して

$$\sqrt{2}+\sqrt{3}=A(1-\sqrt{6}{)}^2+2(1-\sqrt{6})p$$

　両辺を $1-\sqrt{6}$ で割って

$${\displaystyle \frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{1-\sqrt{6}}}=A(1-\sqrt{6})+2p$$

　①を代入して

$${\displaystyle \frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{1-\sqrt{6}}}=A(1-\sqrt{6})+2({\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}-A)$$

　整理して　$(\sqrt{6}+1)A={\displaystyle \frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{6}-1}}$

　よって　　$A={\displaystyle \frac{3\sqrt{3}}{5}}$

　$A$ を元に戻して　${\displaystyle \frac{a}{2\sqrt{3}}}={\displaystyle \frac{3\sqrt{3}}{5}}$

　故に　　$\underset{―}{a={\displaystyle \frac{18}{5}}}$

補足

　一般に，傾き $m$ の直線について，$x=p$ から $x=q$ までの線分の長さは$$\sqrt{1+m^2}|p-q|$$

と表されます．

　Rが弧PQ上にあるとすれば，

$$|p-q|>|p-r|$$

となることに加えて，直線PQの傾きが $\sqrt{2}$ ですから，∠Pが60°のとき，

｜PQの傾き｜＞｜PRの傾き｜

となって，PQ=PRとなることができません．