1．整式の除法【演習問題】

数学Ⅱ　第1章　式と証明

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1. 整式の除法
2. 分数式
3. 恒等式
4. 等式の証明
5. 不等式の証明

1．整式の除法

演習問題

問題１【基本】
次の整式 $A,\ B$ について， $A$ が $B$ で割り切れることを確認せよ．
(1) $A=x^2 + 3x + 2,\ B=x + 1$
(2) $A=x^2-2x-3,\ B=x-3$

問題２【基本】
次の整式 $A,\ B$ について， $A$ を $B$ で割った商と余りを求めよ．
(1) $A=x^3-x^2-x-2,\ B=x^2+2x-1$
(2) $A=2x^3+9x^2-1,\ B=x^2+4x-3$
(3) $A=x^3-5x^2+7x,\ B=-1+x^2$

問題３【基本】
$3x^3-4x^2 +1$ を $3x-2$ で割る．組立除法を用いて商と余りを求めよ．

問題４【基本】
整式 $P(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$ を $x-1$ で割ったとき，商が $x^2 + 3x + 2$ ，余りが $2x + 5$ となった．定数 $a, b, c$ の値を求めよ．

問題１【基本】

次の整式 $A,\ B$ について， $A$ が $B$ で割り切れることを確認し，商を求めよ．
(1) $A=x^2 + 3x + 2,\ B=x + 1$
(2) $A=x^2-2x-3,\ B=x-3$

2次式であれば，筆算を用いなくても因数分解で求めることができます．

解答

(1) $A=x^2+3x+2=(x+1)(x+2)$
よって， $A=x^2+3x+2$ は $B=x+1$ で割り切れ，商は $x+2$

■

(2) $A=x^2-2x-3=(x-3)(x+1)$
よって， $A=x^2-2x-3$ は $B=x-3$ で割り切れ，商は $x+1$

■

問題２【基本】

次の整式 $A,\ B$ について， $A$ を $B$ で割った商と余りを求めよ．
(1) $A=x^3-x^2-x-2,\ B=x^2+2x-1$
(2) $A=2x^3+9x^2-1,\ B=x^2+4x-3$
(3) $A=x^3-5x^2+7x,\ B=-1+x^2$

3次以上の場合は筆算が有効です．

解答

(1)

答え　商： $x-3$ ，余り： $6x-5$

(2)

答え　商： $2x+1$ ，余り： $2x+2$

(3)　割る式である $-1+x^2$ が降べきの順になっていません．筆算で割り算を行うときには，割る式，割られる式がともに降べきの順になっていなければなりません．

答え　商： $x+5$ ，余り： $8x+5$

問題３【基本】

$3x^3-4x^2 +1$ を $3x-2$ で割る．組立除法を用いて商と余りを求めよ．

1次式で割るなら組立除法が強力です．

解答

この計算は， $3x^3-4x^2 +1$ を $x-\dfrac23$ で割った商と余りを表していますから，

$3x^3-4x^2 +1=\left(x-\frac23\right)\left(3x^2-2x-\frac43\right)+\frac19$

右辺の2番目のカッコから3をくくりだして，1番目のカッコの中に掛けると

$3x^3-4x^2 +1=(3x-2)\left(x^2-\frac23x-\frac49\right)+\frac19$

答えは　商： $x^2-\dfrac23x-\dfrac49$ ，余り： $\dfrac19$

問題４【基本】

整式 $P(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$ を $x-1$ で割ったとき，商が $x^2 + 3x + 2$ ，余りが $2x + 5$ となった．定数 $a, b, c$ の値を求めよ．

7÷2＝3余り1という関係から，7＝2×3＋1と表せます。同じようにやってみましょう．

解答

条件より

$P(x) = (x-1)(x^2 + 3x + 2) + (2x + 5)$

と表せる．右辺を展開して整理：

$\begin{align*} (x-1)(x^2 + 3x + 2) &= x^3 + 3x^2 + 2x-x^2-3x-2\\[5pt] &= x^3 + 2x^2-x-2 \end{align*}$

余りを加えて

$(x^3 + 2x^2-x-2) +(2x + 5) = x^3 + 2x^2 + x + 3$

$P(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$ と係数を比較すると， $a = 2$ ， $b = 1$ ， $c = 3$

答えは　 $\boxed{a=2,\ b=1,\ c=3}$