高校数学[総目次]
数学Ⅱ 第1章 式と証明
| スライド | ノート | 問題 | |
| 1. 整式の除法 | |||
| 2. 分数式 | |||
| 3. 恒等式 | |||
| 4. 等式の証明 | |||
| 5. 不等式の証明 |
3. 恒等式
3.1 恒等式と方程式
恒等式
どんな値でも成り立つ等式を，恒等式という。
例
・$2(x+3)=2x+6$
・$x^2-2x+1=(x-1)^2$
補足
どんな値でも等号が成立する恒等式に対して，特定の値でしか等号が成立しない式を方程式という．
例 $a,b$ を定数とするとき，$ax\!+\!b\!=\!2x\!+\!3$という等式について．
恒等式とみる
どんな値でも等号が成り立つから，
$x=0$ を代入して $a\cdot0+b=2\cdot0+3$
$\therefore b=3$
$x=1$ を代入して $a\cdot1+3=2\cdot1+3$
$\therefore a=2$
逆に，$a=2,b=3$ のとき，明らかに与式は恒等的に成り立つ．
以上により，$\underline{\boldsymbol{a=2,b=3}}$
方程式とみる
与式を変形して，
$(a-2)x=3-b\ \ \cdots$ ①
(i) $a\neq 2$ のとき，$x=\dfrac{3-b}{a-2}$
(ii) $a=2$ のとき
①は $0x=3-b$
よって，$b=3$ のとき，$x$ は任意の実数
$b\neq3$ のとき，解なし
以上により，
$\boldsymbol{a\neq2}$ のとき，$\boldsymbol{x=\dfrac{3-b}{a-2}}$
$\boldsymbol{a=2}$ のとき
$\boldsymbol{b=3}$ ならば，$\boldsymbol{x}$ はすべての実数
$\boldsymbol{b\neq3}$ ならば，解なし
3.2 恒等式の性質
恒等式の性質(1) $a,b,c$ を定数として，\[ ax^2\!+\!bx\!+\!c\!=\!0\ \mbox{が恒等式}\iff a\!=\!b\!=\!c\!=\!0\]
証明
$\Leftarrow)$ 明らか．
$\Rightarrow)$ $x=0,1,-1$ とおくと
\[\left\{\begin{array}{r}
c=0\\[5pt]
a+b+c=0\\[5pt]
a-b+c=0
\end{array}\right.\]
\[\therefore a=b=c=0\]
■
上の性質からただちに次も成り立つ：
恒等式の性質(2) $a,b,c,a’,b’,c’$ を定数として，\begin{align*}ax^2\!+\!bx+&c\!=\!a’x^2\!+\!b’x\!+\!c’\ \mbox{が恒等式}\\[5pt] &\iff a\!=\!a’,b\!=\!b’,c\!=\!c’ \end{align*}
証明
\[\begin{align*}
&ax^2+bx+c=a’x^2+b’x+c’\mbox{が恒等式}\\[5pt]
\iff & (a\!-\!a’)x^2\!+\!(b\!-\!b’)x\!+\!(c\!-\!c’)\!=\!0\mbox{が恒等式}
\end{align*}\]
よって上の性質により，
\[a-a’=0,\ b-b’=0,\ c-c’=0\]
\[\therefore a=a’,\ b=b’,\ c=c’\]
■
例題 $\dfrac{3x\!-\!5}{(2x\!-\!1)(x\!+\!3)}\!=\!\dfrac a{2x\!-\!1}\!+\!\dfrac b{x\!+\!3}$ が $x$ についての恒等式のとき，$a,b$ の値を求めよ．
解法1