5．恒等式【演習問題】｜スライドで学ぶ高校数学

数学Ⅱ　第1章　式と証明

	スライド	ノート	問題
1. 整式の除法
2. 分数式
3. 恒等式
4. 等式の証明
5. 不等式の証明

演習問題

問題１【発展】
　定数 $a,\ b,\ c,\ d$ に対して，平面上の点 $(p,\ q)$ を点 $(ap+bq,\ cp+dq)$ に移す操作を考える．ただし， $(a,\ b,\ c,\ d)\ne(1,\ 0,\ 0,\ 1)$ である． $k$ を0でない定数とする．放物線 $C:y=x^2-x+k$ 上のすべての点は，この操作によって $C$ 上に移る． $a,\ b,\ c,\ d$ を求めよ．

(一橋大)

問題１【発展】

　定数 $a,\ b,\ c,\ d$ に対して，平面上の点 $(p,\ q)$ を点 $(ap+bq,\ cp+dq)$ に移す操作を考える．ただし， $(a,\ b,\ c,\ d)\ne(1,\ 0,\ 0,\ 1)$ である． $k$ を0でない定数とする．放物線 $C:y=x^2-x+k$ 上のすべての点は，この操作によって $C$ 上に移る． $a,\ b,\ c,\ d$ を求めよ．

(一橋大)

　この問題で必要な知識は教科書の範囲から一歩も出ませんが，難関大入試問題ではこのように一見して問題設定が複雑そうで，どう対処してよいかわからなくなりがちです．この問題文で注目すべき箇所は「放物線 $C:y=x^2-x+k$ 上のすべての点は，この操作によって $C$ 上に移る」という記述です．この「すべて」とか「あらゆる」などの表現は恒等式との親和性が高いです．

解答

　点 $(p,\ q)$ が $C$ 上にあるとき

$q=p^2-p+k$ …①

が成り立つ．またこの点を題意の操作で移動した点 $(ap+bq,\ cp+dq)$ も $C$ 上にあるとき

$cp+dq=(ap+bq)^2-(ap+bq)+k$ …②

が成り立つ． $a,\ b,\ c,\ d$ は定数であることに注意すると，①を②に代入して $q$ を消去し，得られた $p$ についての等式は，から $p$ についての恒等式である．

恒等式とわかれば，このあとの基本解法は係数比較です．

　②の右辺における $p$ の最高次の項は， $b^2q^2$ から得られる $p^4$ の項で，

$b^2q^2=b^2(p^2-p+k)^2=b^2p^4+(p$ の3次以下の項)

となるからその係数は $b^2$ である．一方，②の左辺は $p$ の2次式だから，これが $p$ についての恒等式のとき， $b^2=0$ である．よって $b=0$ ．従って②は

$cp+dq=(ap)^2-ap+k$

となる．左辺の $q$ に①を代入すると

$cp+d(p^2-p+k)=(ap)^2-ap+k$

$dp^2+(c-d)p+kd=a^2p^2-ap+k$

　係数を比較して

$d=a^2,\ c-d=-a,\ kd=k$

　 $k\ne0$ より　 $d=1$ 　よって　 $a=\pm1$

１°　 $a=1$ のとき

　 $c=0$ となるから　 $(a,\ b,\ c,\ d)=(1,\ 0,\ 0,\ 1)$ (不適)

２°　 $a=-1$ のとき

　 $c=2$ となるから　 $(a,\ b,\ c,\ d)=(-1,\ 0,\ 2,\ 1)$ (適する)

　以上により　 $(a,\ b,\ c,\ d)=(-1,\ 0,\ 2,\ 1)$