4．等式の証明【演習問題】

高校数学[総目次]

数学Ⅱ　第1章　式と証明

	スライド	ノート	問題
1. 整式の除法
2. 分数式
3. 恒等式
4. 等式の証明
5. 不等式の証明

3．恒等式

演習問題

解答

$a + b + c = 0$ より $c =-a-b$
これを与式の $c$ に代入して整理すると

$$\begin{align*} \mbox{左辺}&=a^3 + b^3 + c^3\\[5pt] &= a^3 + b^3 + (-a-b)^3\\[5pt] &= a^3 + b^3-(a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3)\\[5pt] &= a^3 + b^3-a^3-3a^2b-3ab^2-b^3\\[5pt] &= -3a^2b-3ab^2\\[5pt] & = -3ab(a + b) \end{align*}$$

ここで再び $a+b+c=0$ から $a + b = -c$ なので

$$-3ab(-c) = 3abc$$

よって $a^3 + b^3 + c^3 = 3abc$

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別解

$$\begin{align*} (\mbox{左辺})-(\mbox{右辺})&=a^3 + b^3 + c^3-3abc\\[5pt] &= (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)\ \ \cdots\mbox{①} \end{align*}$$

条件より $a+b+c=0$ であるから　①＝0

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解答

$x + y + z = 0$ より，$x + y =-z$，$y + z =-x$，$z + x =-y$．これらを与式の左辺に代入して

$$\begin{align*} (x + y)(y + z)(z + x) + xyz &= (-z)(-x)(-y) + xyz\\[5pt] &= -xyz + xyz\\[5pt] &= 0 \end{align*}$$

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