高校数学[総目次]
数学Ⅱ 第1章 式と証明
| スライド | ノート | 問題 | |
| 1. 整式の除法 | |||
| 2. 分数式 | |||
| 3. 恒等式 | |||
| 4. 等式の証明 | |||
| 5. 不等式の証明 |
5. 不等式の証明
5.1 不等式の証明
$A>B$ の証明の仕方
① $A-B=\cdots >0$ を示す．
② 有名不等式の利用．
例題1 $a\!>\!b,\ c\!>\!d$ のとき，$a\!+\!c\!>\!b\!+\!d$ を示せ．
$a>b,c>d$ より $a-b>0$，$c-d>0$．
よって証明すべき不等式 $a+c>b+d$ について，
\[\begin{align*}
(\mbox{左辺})-(\mbox{右辺})&=(a+c)-(b+d)\\[5pt]
&=(a-b)+(c-d)\\[5pt]
&>0+0\\[5pt]
&=0
\end{align*}\]
■
例題2 不等式 $|a\!+\!b|\!\leqq\!|a|\!+\!|b|$ を示せ．
確認 $a\geqq0$，$b\geqq0$ のとき，
\[a\geqq b\iff a^2\geqq b^2\]
\[\begin{align*}
(\mbox{右辺})^2-(\mbox{左辺})^2&=(|a|+|b|)^2-|a+b|^2\\[5pt]
&=(|a|^2+2|a||b|+|b|^2)-(a^2+2ab+b^2)\\[5pt]
&=(a^2+2|a||b|+b^2)-(a^2+2ab+b^2)\\[5pt]
&=2(|a||b|-ab)\\[5pt]
&\geqq 0
\end{align*}\]
\[\therefore (\mbox{左辺})^2\leqq(\mbox{右辺})^2\]
左辺，右辺共に非負の数であるから，
\[(\mbox{左辺})\leqq(\mbox{右辺})\]
等号成立は，$a$ と $b$ が共に0以上，または共に0以下のとき．
■
5.2 相加平均と相乗平均
相加・相乗平均の関係式 $a>0,b>0$ のとき，\[\frac{a+b}2\geqq\sqrt{ab}\] 等号成立は，$a=b$ のとき．
証明
$a>0,b>0$ であるから，
\[\begin{align*}
&\sqrt{ab}=\sqrt a\sqrt b\\[5pt]
& a=(\sqrt a)^2\\[5pt]
&b=(\sqrt b)^2
\end{align*}\]
が成り立つことに注意して，
\[\begin{align*}
(\mbox{左辺})-(\mbox{右辺})&=\frac{a+b}2-\sqrt{ab}\\[5pt]
&=\frac{a+b-2\sqrt{ab}}2\\[5pt]
&=\frac{(\sqrt a)^2-2\sqrt a\sqrt b+(\sqrt b)^2}2\\[5pt]
&=\frac{(\sqrt a-\sqrt b)^2}2\ \ \cdots\mbox{①}\\[5pt]
&\geqq 0
\end{align*}\]
等号成立，即ち (左辺)$-$(右辺)$=0$ となるのは，①の分子が0となるときで，$a>0,b>0$ により
\[\sqrt a-\sqrt b=0\iff \sqrt a=\sqrt b\iff a=b\]
となるから $a=b$ のときである．
■
補足
① $\dfrac{a+b}2$，$\sqrt{ab}$ をそれぞれ $a$ と $b$ の相加平均，相乗平均という．
② しばしば分母の2を払った
\[x+y\geqq2\sqrt{xy}\]
の形で用いられる．
注意
相加・相乗平均の関係式を用いる際は，「$a>0, b>0$」の確認を必ず行う．
例題 $x\!>\!0$ のとき，不等式 $x\!+\!\dfrac1x\!\geqq\! 2$ を示せ．
$x>0,\ \dfrac1x>0$ であるから，相加・相乗平均の関係により，
\[x+\frac 1x\geqq2\sqrt{x\cdot\frac1x}=2\]
等号成立は，
\[\begin{align*}
x=\frac1x&\iff x^2=1\ \ (\because x>0)\\[5pt]
&\iff x=1\ \ (\because x>0)
\end{align*}\]
により，$x=1$ のとき．
■
発展的注意
相加・相乗平均の関係の良さは，評価精度の高さ，即ち等号が成立するケースがある，という点にある．($x^2\geqq -1$ と評価したところで，$x^2=-1$ となる実数 $x$ はない．)
この評価の正確さから，しばしば関数の最大・最小問題に利用されるが，最大値，または最小値が求まるのは，相加平均，または相乗平均が定数になる場合であって，次のような使い方は正しくない：
例題 $x\!>\!0$ のとき，関数 $f(x)\!=\!x^2\!+\!\dfrac1x$ の最小値は?
こたえ（？？）
$x^2>0,\ \dfrac 1x>0$ であるから，相加・相乗平均の関係により， \[x^2+\frac1x\geqq2\sqrt{x^2\cdot\frac1x}=2\sqrt x\] 等号成立は，$x^2=\dfrac1x$，即ち $x^3=1$ のときだから，$x=1$．(ここまでは正しい．)
よって，$x^2+\dfrac1x\geqq2\sqrt 1=2$ より，最小値は2（？？）(← 正しくない．)