5．不等式の証明【演習問題】

数学Ⅱ　第1章　式と証明

5．不等式の証明

問題１【基本】
$a > b$，$c > d$ のとき，$a + c > b + d$ を証明せよ．

問題２【基本】
任意の実数 $a, b$ について，$|a + b| \leqq |a| + |b|$ を証明せよ．

問題３【基本】
$x > 0$ のとき，$x^2 + \dfrac{1}{x} \geqq 2\sqrt{x}$ を証明せよ．また，等号成立条件も述べよ．

問題４【標準】
$a > 0,\ b > 0,\ c > 0$ のとき，$\displaystyle \frac{a + b + c}{3} \geqq \sqrt[3]{abc}$ を証明せよ．

$a > b$，$c > d$ のとき，$a + c > b + d$ を証明せよ．

当たり前すぎて，どう証明したらよいか迷います．しかし基本に忠実に，(左辺)－(右辺)＞0を示しましょう．

　$a > b \implies a-b > 0$
　$c > d \implies c-d > 0$
従って
　(左辺)ー(右辺)$=(a + c)-(b + d)$
　　　　　　　$= (a-b) + (c-d) > 0$
よって $a + c > b + d$

■

任意の実数 $a, b$ について，$|a + b| \leqq |a| + |b|$ を証明せよ．

$a\geqq 0,\ b\geqq 0$ のとき，

\[a\leqq b\iff a^2\leqq b^2\]

が成り立ちます．