確率と事象(同様に確からしいとは)

高校数学[総目次]

数学A　第2章　確率

	スライド	ノート	問題
1. 事象と確率
2. 確率の基本性質
3. 独立な試行の確率
4. 反復試行の確率
5. 条件付き確率

1. 事象と確率

　確率という言葉はニュースなどでもよく見聞きする用語であるから，小学生，あるいはそれ以前から確率というものついて何となく意味は分かっているであろう．しかし数学的に「確率とは何か」ということを学ぶのは実はここが初めてである．数学的な確率を導入するに当たり，準備としていくつかの用語を説明していく．

1.1　試行と事象

　以下の用語は今後確率を説明するうえで繰り返し用いられるものばかりである．

試行

　同じ条件・状態の下でできる実験や観察

事象

　試行によっておこる事柄

根元事象	さいころを1回投げたとき，「1の目が出る」といった，もうそれ以上分解できない事象． （「偶数の目が出る」は根元事象ではない．）
全事象または 標本空間	1つの試行における根元事象全体の集合
空事象	決して起こらない事象．$\varnothing$ で表される

　事象と集合は完全に対応している．以後，全体集合 $U$ の部分集合$A$ と事象A を区別しないで同じものを表しているものとする．

例　さいころを1回だけ投げて，出た目を調べる．

　試行　：さいころを1回だけ投げる
　根元事象：
　　　1の目が出る→ $\{1\}$ で表す．
　　　2の目が出る→ $\{2\}$ で表す．
　　　3の目が出る→ $\{3\}$ で表す．
　　　4の目が出る→ $\{4\}$ で表す．
　　　5の目が出る→ $\{5\}$ で表す．
　　　6の目が出る→ $\{6\}$ で表す．
　全事象(または標本空間)：
　　　集合 $\{1,2,3,4,5,6\}$ で表される．
　空事象：
　　　例　7の目が出る．
　　　　　この事象に対応する集合を $E$ とすれば，
　　　　　　　　$E=\varnothing$

発展的補足~事象とは？

　「事象とは何か？」ということを難しく言えば，それは全事象(あるいは標本空間)という名の集合の，部分集合のことである．この例の場合の全事象(標本空間)は $\{1,2,3,4,5,6\}$ という集合であり，例えば「偶数の目が出るという事象」とは，全事象(標本空間)の部分集合 $\{2,4,6\}$ を意味するのである．このように確率論では「事象＝集合」という関係が本質的であって，この言い方の方がかえってしっくりくるという向きもあろう．

1.2　確率

確率を計算するうえで極めて重要な「同様に確からしい」

同様に確からしい　(←用語)

　根元事象のどれについても，起こることが同程度に期待されること．特定の事象が出やすいとか出にくいということがないときをいう．

例　さいころ1回投げ
　1～6の目の出方は，同程度であると期待される．(1が出やすいとか，6が出にくいということがない．)　よって，さいころの目の出方は同様に確からしいといえる．

確率とは何か？

　確率というと，天気予報の降水確率や宝くじの当選確率など割と身近なところで用いられてきた．数学における確率も意味としてはほぼ同じで，「…が起こる割合」という理解でひとまず問題ないが，いろいろと細かな注意点もある．