高校数学[総目次]
数学A 第2章 確率
| スライド | ノート | 問題 | |
| 1. 事象と確率 | |||
| 2. 確率の基本性質 | |||
| 3. 独立な試行の確率 | |||
| 4. 反復試行の確率 | |||
| 5. 条件付き確率 |
5. 条件付き確率
5.1 条件付き確率
条件付き確率とは
事象$A$ が起こるという条件の下で，事象$B$ が起こる確率を，条件付き確率といい， \[P_A(B)\] で表す．
条件付き確率はその意味から簡単に求まるタイプとそうでないタイプの2つがある．
まずは，条件付き確率が簡単に求まるタイプから見ていこう．
条件付き確率が簡単に求まるタイプ
例題1 10本中の3本が当たりのくじを1本ずつ引く．1本目が当たりであるという条件のもと，2本目も当たりである条件付き確率を求めよ．
こたえ
1本目が当たりであるという条件を付けたので，2本目を引くときには当たりくじが1本減って2本となっている．従って求める条件付き確率は，9本中の2本が当たりであるくじを引いて当たりが出る確率だから，
$\dfrac29\ \ \cdots$ (答)
条件付き確率が簡単には求まらないタイプ
一方，次の例題はどうだろう．
例題2 10本中の3本が当たりのくじを1本ずつ引く．2本目が当たりであるという条件のもと，1本目も当たりであった条件付き確率を求めよ．
例題1と違ってこちらの条件付き確率はさっぱりわからない．（1本目と2本目の両方が当たりの場合と，1本目がハズレで2本目が当たりの場合の2通りがあるから求める条件付き確率は $\dfrac12$ というのは間違い．）
条件付き確率の定義
条件付き確率 $P_A(B)$ が簡単にわからない場合は，次の定義式から計算することになる：
条件付き確率
事象$A$ が起こるという条件のもとで，事象$B$ が起こる条件付き確率は
\[P_A(B)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}\]
例題2の解答は，「2本目に当たりが出る」という事象を $A$，「1本目に当たりが出る」という事象を $B$ とすると，
\[\begin{align*}
&P(A)=\frac3{10}\\[5pt]
&P(A\cap B)=\frac{_3{\rm P}_2}{_{10}{\rm P}_2}=\frac1{15}
\end{align*}\]
よって求める条件付き確率は，
$\dfrac{\dfrac1{15}}{\dfrac3{10}}=\dfrac29\ \ \cdots$ (答)
補足
例題1も定義式から計算しようと思えばできる
例題1を条件付き確率の定義式から求めると，
\[\frac{\dfrac{_3{\rm P}_2}{_{10}{\rm P}_2}}{\dfrac3{10}}=\frac{\dfrac{3\cdot2}{10\cdot9}}{\dfrac3{10}}=\frac29\]
注意
$P_A(B)=P_B(A)$ は一般には成り立たない
例題1と2の結果が同じ値となったが，だからと言って $P_A(B)=P_B(A)$ が常に成り立つわけではない．
条件付き確率を考えるときの思考法
条件付き確率 $P_A(B)$ の定義式を見ればわかるように，「分母の確率に占める分子の確率の割合」というのが条件付き確率の本質であって，とりわけ同様に確からしい場合には「事象$A$ が起こる場合のうち，事象$B$ も起こる場合の割合」として計算できる．
例えば「さいころを1回投げて偶数の目が出るという条件のもと，3以下の目が出るという条件付き確率」を考えてみよう．
偶数の目の出方は2，4，6の3通りでこれらは同様に確からしい．このうち3以下の目は2の1通りであるから，求める条件付き確率は
\[\frac13\]
となる．この考え方で上の例題2を解いてみよう．