数学A　確率
5．条件付き確率【演習問題】

高校数学[総目次]

数学A　第2章　確率

	スライド	ノート	問題
1. 事象と確率
2. 確率の基本性質
3. 独立な試行の確率
4. 反復試行の確率
5. 条件付き確率

演習問題

解答

1本目に当たりが出たので，2本目を引くときは，残り9本中当たりは2本になっている．
よって，2本目が当たりである確率は　$\dfrac{2}{9}$

補足

条件付き確率の定義通り計算してみましょう。

1本目，2本目に当たりを引くという事象をそれぞれ $A,\ B$ とします．

$$P(A)=\dfrac3{10}$$

$$P(A\cap B)=\dfrac{_3{\rm P}_2}{_{10}{\rm P}_2}=\dfrac{3\cdot2}{10\cdot9}$$

よって

$$P_A(B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}=\cfrac{\cfrac{3\cdot2}{10\cdot9}}{\cfrac3{10}}=\dfrac29$$

解答

1本目，2本目に当たりを引くという事象をそれぞれ $A,\ B$ とすると，求める確率は $P_B(A)$ である．

1°　$P(B)$ について

くじは引く順番によらないから　$P(B)=\dfrac3{10}$

2°　$P(A\cap B)$ について

1本目も2本目も当たるという事象 $A\cap B$ が起こる確率は，問題1の過程から

$$P(A\cap B)=\dfrac{_3{\rm P}_2}{_{10}{\rm P}_2}=\dfrac{3\cdot2}{10\cdot9}$$

従って求める条件付き確率は

$$P_B(A)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}=\cfrac{\cfrac{3\cdot2}{10\cdot9}}{\cfrac3{10}}=\dfrac29$$

補足

1° の2本目が当たる確率 $P(B)$ についてですが，まじめに計算すると次のようになります．

2本目が当たりとなるのは，1本目が当たりかはずれかで場合分けすると，

$$\begin{align*} P(B)&=P(A\cap B)+P(\overline{A}\cap B)\\[5pt] &=P(A)\cdot P_A\,(B)+P(\overline{A})\cdot P_{\,\overline{A}}\ (B)\\[5pt] &=\dfrac3{10}\cdot\dfrac29+\dfrac7{10}\cdot\dfrac39\\[5pt] &=\dfrac{6+21}{90}=\dfrac{27}{90}=\dfrac3{10} \end{align*}$$

注意

問題1の結果と見比べてみると

$$P_A(B)=P_B(A)$$

が成り立っていますが，いつも成り立つわけではありません．くじ引きは公平にできていて，引く順番によらないため，今回はたまたまこういう結果になったというだけです．

解答

偶数の目は2,4,6 の3通り．
そのうち3以下は2のみの1通り．
よって，求める条件付き確率は　$\dfrac{1}{3}$

補足

条件付き確率というのは，条件を付けた事象を新しい全事象と考える確率です．本問の場合，条件を付けた「偶数の目」という事象が新たな全事象になり，その全事象に占める3以下の目（この場合は2だけですが）の占める割合を考えればよいわけです．

解答

1回目に赤玉が出たということは，残りは赤2個，白2個の４つある．この条件の下で，2回目も赤玉が出る確率は

$$\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$$

解答

確率の乗法定理を用いて言葉で表すと

$$P(\text{1回目赤} \cap \text{2回目赤}) = P(\text{1回目赤}) \times P_{\text{1回目赤}}(\text{2回目赤})$$

となる．

1回目が赤となる確率は　$\dfrac{3}{5}$

1回目が赤であるという条件の下，2回目も赤であるという条件付き確率は　$\dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}$

よって求める確率は

$$\frac{3}{5} \times \frac{1}{2} = \frac{3}{10}$$

解答

大小2つのさいころが両方とも3以下になるのは，それぞれ1,2,3の3通りずつあるから　$3 \times 3 = 9$通り

このうち和が4になるのは　(大,小)＝(1,3)，(2,2)，(3,1) の3通り

よって，求める条件付き確率は

$$\frac{3}{9} = \frac{1}{3}$$