高校数学[総目次]

数学Ⅲ 第5章 2次曲線

  スライド ノート
1. 放物線 [会員]  
2. 楕円 [会員]  
3. 双曲線 [会員]  
4. 2次曲線の平行移動 [会員]  
5. 2次曲線と直線 [会員]  
6. 2次曲線の性質 [会員]  
7. 曲線の媒介変数表示 [会員]  
8. 極座標と極方程式 [会員]  

1.放物線

1.1 放物線の方程式

放物線とは?

 定点Fと,Fを通らない定直線$\ell$からの距離が等しい点Pの軌跡.

 定点Fを焦点といい,定直線$\ell$を準線という.

焦点$(p,0)$,準線$x=-p$ の放物線

$p>0$のとき
$p<0$のとき

 図において,

\[\begin{align*} {\rm PF}&={\rm PH}\ \ \cdots\ \mbox{①}\\[5pt] {\rm PF}^2&={\rm PH}^2\\[5pt] (x-p)^2+y^2&=|x-(-p)|^2\\[5pt] \therefore y^2&=4px\ \ \cdots\ \mbox{②} \end{align*}\]

 よって条件①を満たす点は,曲線②上にある.逆に曲線②上の任意の点は,上の計算の逆をたどることで条件①を満たす.

 方程式②を,放物線の方程式の標準形という.

まとめ $p\neq0$ とする.
 焦点 $(p,0)$,準線 $x=-p$ である放物線の方程式は
\[y^2=4px\]

例題1 放物線 $y^2=x$ の焦点と準線を求めよ.

こたえ

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例題2 焦点が点 $(1,0)$,準線が直線 $x=-1$ である放物線の方程式を求めよ.

こたえ

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1.2 $y$ 軸を軸とする放物線

 $p\neq0$ とする.点F $(0,p)$ を焦点とし,直線 $y=-p$ を準線とする放物線の方程式は

\[x^2=4py\]

例題 放物線 $y=2x^2$ の焦点と準線を求めよ.

こたえ

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