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高校数学[総目次]

数学Ⅲ 第5章 2次曲線

  スライド ノート
1. 放物線 [会員]  
2. 楕円 [会員]  
3. 双曲線 [会員]  
4. 2次曲線の平行移動 [会員]  
5. 2次曲線と直線 [会員]  
6. 2次曲線の性質 [会員]  
7. 曲線の媒介変数表示 [会員]  
8. 極座標と極方程式 [会員]  

5.2次曲線と直線

5.1 2次曲線と直線の共有点

 2次曲線と直線の共有点を考察するにあたって,これまでにない何か特別な知識が必要である訳ではない.基本的には $x$ か $y$ のどちらかの文字を消去して2次方程式を作り,その解の種類,個数を考察するのである.しかし楕円に関しては,下の例題にある通り楕円と円の親戚関係を利用することで,計算が大幅にラクになる場合がある.

放物線・楕円:連立して判別式
双曲線:直線と漸近線が平行でない→上と同じ
    直線と漸近線が平行→漸近線そのもの→0個
             →それ以外→1個

例題1 双曲線 $\dfrac{x^2}{12}-\dfrac{y^2}3=1$ と直線 $y=x+k$ の共有点の個数を求めよ.

こたえ

 漸近線は $\dfrac{x^2}{12}-\dfrac{y^2}3=0$,すなわち $(x+2y)(x-2y)=0$ より $y=\pm\dfrac12x$.これらは直線 $y=x+k$ と平行でない.従って $y$ を消去して,$x^2-4(x+k)^2=12$

 整理して $3x^2+8kx+4k^2+12=0$

 判別式を $D$ とすると

\[D/4=(4k)^2-3(4k^2+12)=4k^2-36=4(k+3)(k-3)\]

 よって

  $k<-3,3<k$ のとき,2個
  $k=\pm3$ のとき,   1個
  $-3<k<3$ のとき, 0個

補足

 $D=0$ のとき,接するという.漸近線に平行な直線は接線になり得ない.

例題2 楕円 $\dfrac{x^2}9+\dfrac{y^2}4=1$ と直線 $y=kx+3$ の共有点の個数を求めよ.

方針
例題1と同様に解決できるが,楕円と円の関係を用いた次の解法がおすすめ.

こたえ

 楕円と直線を $y$ 軸方向に $\dfrac32$ 倍すると

\[\left\{\begin{array}{l} \dfrac{x^2}9+\dfrac{(\frac23y)^2}4=1\\[5pt] \dfrac23y=kx+3 \end{array}\right.\]

\[\therefore \left\{\begin{array}{ll} x^2+y^2=9 &\cdots\ \mbox{①}\\[5pt] 3kx-2y+0=0 &\cdots\ \mbox{②} \end{array}\right.\]

 円①の中心と直線②の距離 $d$ は,

\[d=\frac{|9|}{\sqrt{(3k)^2+(-2)^2}}=\frac9{\sqrt{9k^2+4}}\]

 $d$ と円の半径3の大小を比較して,

(i) $d<3$ のとき
  $\dfrac9{\sqrt{9k^2+4}}<3$ を解いて $k<-\dfrac{\sqrt5}3,\dfrac{\sqrt5}3<k$
  このとき,円①と直線②の共有点は2個.
  よって元の楕円と直線の共有点も2個.

(ii) $d=3$ のとき
  $\dfrac9{\sqrt{9k^2+4}}=3$ を解いて $k=\pm\dfrac{\sqrt5}3$
  このとき共有点は1個

(iii) $d>3$のとき
  $\dfrac9{\sqrt{9k^2+4}}>3$ を解いて $-\dfrac{\sqrt5}3<k<\dfrac{\sqrt5}3$
  このとき共有点は0個

5.2 2次曲線の接線の方程式

2次曲線の接線の方程式 接点の座標が $(x_1,y_1)$ のとき,
 ①放物線 $y^2=4px \to y_1y=2p(x+x_1)$
 ②楕円 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1 \to \dfrac{x_1x}{a^2}+\dfrac{y_1y}{b^2}=1$
 ③双曲線 $\left\{ \begin{array}{ll} \dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1 &\to \dfrac{x_1x}{a^2}-\dfrac{y_1y}{b^2}=1\\[5pt] \dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=-1 &\to \dfrac{x_1x}{a^2}-\dfrac{y_1y}{b^2}=-1 \end{array}\right.$

覚え方
 ①放物線 $2x\to x+x_1,\ y^2\to y_1y$
 ②③楕円,双曲線  $x^2\to x_1x,\ y^2\to y_1y$

証明

 数学Ⅲの微分法を用いる証明が最もはやいが、それでなければ次の方法が明快.

 点 $(x_1,y_1)$ を通り,方向ベクトルが $(\alpha,\beta)$ である直線 $\ell$ のベクトル方程式は,$t$ を実数として

\[(x,y)=(x_1,y_1)+t(\alpha,\beta)\]

\[\therefore\left\{\begin{array}{l} x=x_1+\alpha t\\[5pt] y=y_1+\beta t \end{array}\right.\ \ \cdots(*)\]

と表せる.この直線が2次曲線上の点 $(x_1,\ y_1)$ における接線となるとき,$x,y$ を消去して得られる $t$ の2次方程式が $\boldsymbol{t=0}$ を重解にもつ.(さもなくば,$t=0$ 以外の $t$ に対応する点で,2次曲線と直線が共有点をもち,接していないことになる.)

①放物線

 $y^2=4px$ に $(*)$ を代入して,

\[\begin{align} (y_1+\beta t)^2&=4p(x_1+\alpha t)\\[5pt] {y_1}^2+2y_1\beta t+\beta^2t^2&=4px_1+4p\alpha t\\[5pt] \end{align}\]

 ${y_1}^2=4px_1$ に注意して整理すると,

$\beta^2t^2-2(2p\alpha-y_1\beta)t=0$ …①

 2次の係数 $\beta^2$ について,$\beta=0$ とすると,直線の方向ベクトルが $(\alpha,\ 0)$ となり,直線は $x$ 軸と平行になるが,放物線 $y^2=4px$ の接線にそのようなものはないので $\beta\neq0$ である.よって①は $t$ の2次方程式である.$\ell$ が放物線の接線のとき,この2次方程式が $t=0$ を重解にもつから,

\[\begin{align} 2p\alpha-y_1\beta&=0\\[5pt] \therefore (2p,-y_1)\cdot(\alpha,\beta)&=0 \end{align}\]

 従ってベクトル $(2p,\ -y_1)$ は,$\ell$ の方向ベクトル $(\alpha,\beta)$ と垂直であるから,$\ell$ の法線ベクトルとなる.よって,接線の方程式は,

\[\begin{align} 2p(x-x_1)-y_1(y-y_1)&=0\\[5pt] 2\,p\,x-2\,p\,x_1-y_1\,y+y_1^2&=0\end{align}\]

 ${y_1}^2=4px_1$ であるから

\[2\,p\,x-2\,p\,x_1-y_1y+4\,p\,x_1=0\]\[\therefore y_1y=2p(x+x_1)\]

②,③楕円と双曲線

 楕円,双曲線の方程式を

\[C:p\,x^2+q\,y^2=1\]

とおく.$C$ 上の点を $(x_1,y_1)$ とし,$(*)$ を代入すると,

\[p(x_1+\alpha t)^2+q(y_1+\beta t)^2 =1\]

 展開して $t$ について整理すると,$p{x_1}^2+q{y_1}^2=1$ にも注意して

\[ (p\alpha^2+q\beta^2)t^2+2(p\,\alpha\, x_1+q\,\beta \,y_1)t =0\]

 $p\neq0,q\neq0$ かつ $(\alpha,\beta)\neq\overrightarrow0$ より $p\,\alpha^2+q\,\beta^2\neq0$.よって $\ell$ が2次曲線の接線のとき,この $t$ の2次方程式が $t=0$ を重解にもつから,

\[\begin{align} p\,\alpha\, x_1+q\,\beta\, y_1&=0\\[5pt] (\alpha,\ \beta)\cdot(p\,x_1,\ q\,y_1)&=0 \end{align}\]

 よって,$(\alpha,\beta)\perp(p\,x_1,\ q\,y_1)$ であるから,ベクトル $(p\,x_1,\ q\,y_1)$ は接線の法線ベクトルとなる.従って接線の方程式は,

\[p\,x_1(x-x_1)+q\,y_1(y-y_1)=0\]

整理して,$p{x_1}^2+q{y_1}^2=1$ を用いると,

\[px_1x+qy_1y=1\]

補足

 数学Ⅲの微分法を用いると次のように示される:

①放物線

 $y^2=4px$ の両辺を $x$ で微分して $2yy’=4p$

 $y\neq0$ のとき,$y’=\dfrac{2p}y$.

 従ってこのとき接線の方程式は,

\[\begin{align} y-y_1&=\frac{2p}{y_1}(x-x_1)\\[5pt] \therefore y_1y&=2p(x-x_1)+{y_1}^2\\[5pt] \therefore y_1y&=2p(x+x_1)\ \ (\because {y_1}^2=4px_1)\\[5pt] \end{align}\]

 頂点 $(0,0)$ における接線の方程式は $x=0$ であるが,上の式で $(x_1,y_1)=(0,0)$ とおくと $x=0$ となるから,上の式はこの場合も含まれる.

②楕円

 楕円 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ の両辺を $x$ で微分して

\[\frac{2x}{a^2}+\frac{2yy’}{b^2}=0\]

 $y\neq0$ のとき $y’=-\dfrac{b^2x}{a^2y}$

 従ってこのとき接線の方程式は,

\[y-y_1=-\dfrac{b^2x_1}{a^2y_1}(x-x_1)\]

 両辺を $\dfrac{y_1}{b^2}$ 倍して

\[\begin{align} \frac{y_1y}{b^2}-\frac{{y_1}^2}{b^2}&=-\frac{x_1}{a^2}(x-x_1)\\[5pt] \therefore \frac{x_1x}{a^2}+\frac{y_1y}{b^2}&=1\ \ (\because \frac{{x_1}^2}{a^2}+\frac{{y_1}^2}{b^2}=1) \end{align}\]

 $(x_1,y_1)=(\pm a,0)$ における接線の方程式は $x=\pm a$ (複号同順)だから,上の式はこの場合も含まれる.

③双曲線

 ②の楕円の場合と同様にして示される.

例題 点 $(0,3)$ から楕円 $x^2+4y^2=4$ に引いた接線の方程式,及び接点の座標を求めよ.

こたえ

 接点を $(x_1,y_1)$ とすると,接線の方程式は

\[x_1x+4y_1y=4\]

とおける.これが点 $(0,3)$ を通るとき,

\[12y_1=4\ \ \therefore y_1=\frac13\]

 また,$x_1^2+4y_1^2=4$ より $x_1=\pm\dfrac{4\sqrt2}3$

 よって接線の方程式は,

\[\pm\frac{4\sqrt2}3x+4\cdot\frac13y=1\]

\[\therefore \pm\sqrt2x+y-3=0\]

 以上により,

 接線: $\sqrt2x+y-3=0$と接点 $\left(\dfrac{4\sqrt2}3,\dfrac13\right)$ 及び
 接線:$-\sqrt2x+y-3=0$と接点 $\left(-\dfrac{4\sqrt2}3,\dfrac13\right)$

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