2次曲線と直線(共有点の個数の求め方、接線の方程式の簡単な導出法）

高校数学[総目次]

数学Ⅲ　第5章　2次曲線

	スライド	ノート	問題
1. 放物線
2. 楕円
3. 双曲線
4. 2次曲線の平行移動
5. 2次曲線と直線
6. 2次曲線の性質
7. 曲線の媒介変数表示
8. 極座標と極方程式

5．2次曲線と直線

5.1 2次曲線と直線の共有点

共有点の個数を求める際の考え方は，これまでと何ら変わらない

　2次曲線と直線の共有点を考察するにあたって，これまでにない何か特別なことがある訳ではない．基本的には $x$ か $y$ のどちらかの文字を消去して2次方程式を作り，その解の種類，個数を考察するのである．しかし楕円に関しては，下の例題にある通り楕円と円の親戚関係を利用することで，計算が大幅にラクになる場合がある．

直線との共有点の個数の求め方放物線：連立して判別式
楕　円：連立して判別式
双曲線：直線と漸近線が平行でない
　　　　　→放物線・楕円の-ケースと同じ
　　　　直線と漸近線が平行
　　　　　→漸近線そのもの→0個
　　　　　→それ以外→1個

例題1　双曲線 $\dfrac{x^2}{12}-\dfrac{y^2}3=1$ と直線 $y=x+k$ の共有点の個数を求めよ．

補足

　$D=0$ のとき，接するという．漸近線に平行な直線は接線になり得ない．

楕円の場合は円との親戚関係を用いた上手い考え方がある

例題2　楕円 $\dfrac{x^2}9+\dfrac{y^2}4=1$ と直線 $y=kx+3$ の共有点の個数を求めよ．

方針
例題1と同様に解決できるが，楕円と円の関係を用いた次の解法がおすすめ．

5.2 2次曲線の接線の方程式

2次曲線上の点における接線の方程式には公式がある

　2次曲線上の点 $(x_1,\ y_1)$ 上における接線の方程式は次で与えられる：

2次曲線の接線の方程式
接点の座標が $(x_1,y_1)$ のとき，
　①放物線 $y^2=4px \to y_1y=2p(x+x_1)$
　②楕円 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1 \to \dfrac{x_1x}{a^2}+\dfrac{y_1y}{b^2}=1$
　③双曲線 $\left\{
\begin{array}{ll}
\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1 &\to \dfrac{x_1x}{a^2}-\dfrac{y_1y}{b^2}=1\\[5pt]
\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=-1 &\to \dfrac{x_1x}{a^2}-\dfrac{y_1y}{b^2}=-1
\end{array}\right.$

覚え方
　①放物線　$2x\to x+x_1,\ y^2\to y_1y$
　②③楕円，双曲線　　$x^2\to x_1x,\ y^2\to y_1y$

証明

　数学Ⅲの微分法を用いる証明が最もはやいが，それでなければ次の方法が明快．

　点 $(x_1,y_1)$ を通り，方向ベクトルが $(\alpha,\beta)$ である直線 $\ell$ のベクトル方程式は，$t$ を実数として\[(x,y)=(x_1,y_1)+t(\alpha,\beta)\]\[\therefore\left\{\begin{array}{l}
x=x_1+\alpha t\\[5pt]
y=y_1+\beta t
\end{array}\right.\ \ \cdots(*)\]と表せる．この直線が2次曲線上の点 $(x_1,\ y_1)$ における接線となるとき，$x,y$ を消去して得られる $t$ の2次方程式が $\boldsymbol{t=0}$ を重解にもつ．(さもなくば，$t=0$ 以外の $t$ に対応する点で，2次曲線と直線が共有点をもち，接していないことになる．)

①　放物線

　$y^2=4px$ に $(*)$ を代入して，
\[\begin{align} (y_1+\beta t)^2&=4p(x_1+\alpha t)\\[5pt] {y_1}^2+2y_1\beta t+\beta^2t^2&=4px_1+4p\alpha t\\[5pt] \end{align}\]
　${y_1}^2=4px_1$ に注意して整理すると，

$\beta^2t^2-2(2p\alpha-y_1\beta)t=0$　…①

　2次の係数 $\beta^2$ について，$\beta=0$ とすると，直線の方向ベクトルが $(\alpha,\ 0)$ となり，直線は $x$ 軸と平行になるが，放物線 $y^2=4px$ の接線にそのようなものはないので $\beta\neq0$ である．よって①は $t$ の2次方程式である．$\ell$ が放物線の接線のとき，この2次方程式が $t=0$ を重解にもつから，
\[\begin{align}
2p\alpha-y_1\beta&=0\\[5pt]
\therefore (2p,-y_1)\cdot(\alpha,\beta)&=0
\end{align}\]　従ってベクトル $(2p,\ -y_1)$ は，$\ell$ の方向ベクトル $(\alpha,\beta)$ と垂直であるから，$\ell$ の法線ベクトルとなる．よって，接線の方程式は，\[\begin{align} 2p(x-x_1)-y_1(y-y_1)&=0\\[5pt] 2\,p\,x-2\,p\,x_1-y_1\,y+y_1^2&=0\end{align}\]

　${y_1}^2=4px_1$ であるから\[2\,p\,x-2\,p\,x_1-y_1y+4\,p\,x_1=0\]\[\therefore y_1y=2p(x+x_1)\]

②，③　楕円，双曲線