高校数学[総目次]
数学Ⅲ 第5章 2次曲線
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1. 放物線 | [会員] | |
2. 楕円 | [会員] | |
3. 双曲線 | [会員] | |
4. 2次曲線の平行移動 | [会員] | |
5. 2次曲線と直線 | [会員] | |
6. 2次曲線の性質 | [会員] | |
7. 曲線の媒介変数表示 | [会員] | |
8. 極座標と極方程式 | [会員] |
4.2次曲線の平行移動
4.1 曲線 $F(x,y)=0$ の平行移動
$F(x,y)=0$ の表す曲線を
$x$ 軸方向に $p$,$y$ 軸方向に $q$
だけ平行移動すると
$F(x-p,y-q)=0$
となる.
注意
2次曲線においては,頂点,焦点,準線,漸近線なども同じように平行移動する.
例題 放物線 $y^2=8x$ を,$x$ 軸方向に $-1$, $y$ 軸方向に2だけ平行移動した放物線$C$の方程式,頂点,焦点,準線を求めよ.
こたえ
放物線 $C$ の方程式は
$(y-2)^2=8(x+1)$
また,放物線 $y^2=4\cdot2x$ は
頂点 $(0,0)$,焦点 $(2,0)$,準線 $x=-2$
であり,これらも同様に平行移動するから,放物線 $C$ は,
頂点 $(-1,2)$,焦点 $(1,2)$,準線 $x=-3$
4.2 $ax^2+by^2+cx+dy+e=0$ の表す図形
例題1 $4x^2-9y^2-8x-36y-68=0$ はどのような図形を表すか.
こたえ
与式を変形して
\[4(x^2-2x+1)-9(y^2+4y+4)=36\]
すなわち $4(x-1)^2-9(y+2)^2=36$
よって $\dfrac{(x-1)^2}9-\dfrac{(y+2)^2}4=1$
これは,双曲線 $\dfrac{x^2}9-\dfrac{y^2}4=1$ を $x$ 軸方向に1,$y$ 軸方向に $-2$ だけ平行移動したものである.
例題2 2つの焦点の座標が $(-2,1),(6,1)$ で,焦点からの距離の和が10である楕円 $C$ の方程式を求めよ.
ポイント
2次曲線の平行移動量は次に着目:
①放物線:頂点
②楕円:中心
③双曲線:中心
こたえ
焦点の座標が $(-2,1),(6,1)$ であるから,楕円の中心は $(2,1)$.また,焦点からの距離の和が10であるから,$C$ は,楕円 $\dfrac{x^2}{5^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ を $x$ 軸方向に2,$y$ 軸方向に1だけ平行移動したものである.
この移動前の楕円は,焦点が $(\pm4,0)$ で,焦点からの距離の和が10であるから,
\[4=\sqrt{5^2-b^2}\ \therefore b=3\]
故に求める方程式は,
\[\frac{(x-2)^2}{25}+\frac{(y-1)^2}{9}=1\]