高校数学[総目次]
数学Ⅲ 第5章 2次曲線
| スライド | ノート | 問題 | |
| 1. 放物線 | |||
| 2. 楕円 | |||
| 3. 双曲線 | |||
| 4. 2次曲線の平行移動 | |||
| 5. 2次曲線と直線 | |||
| 6. 2次曲線の性質 | |||
| 7. 曲線の媒介変数表示 | |||
| 8. 極座標と極方程式 |
3．双曲線
実は双曲線の登場はここが初めてではない．これまでにも反比例の式として双曲線 $y=\dfrac1x$ が出てきていた．放物線のときと同様に，双曲線も2次曲線という枠組みの中での定義がどうなっているかを確認していこう．
3.1 双曲線の方程式
2次曲線における双曲線とは
2定点F，F’からの距離の差が一定である点Pの軌跡
2定点F，F’を焦点という．
双曲線の方程式
双曲線の方程式の導出法
焦点：F$(c,0)$，F’$(-c,0)$
距離の差：$2a$ (ただし，$c>a>0$)
である双曲線の方程式を求める．
\[\begin{align*}
&|{\rm FP-F’P}|=2a\ \ \cdots\mbox{①}\\[5pt]
\iff &{\rm FP-F’P}=\pm 2a\\[5pt]
\iff &{\rm FP}={\rm F’P}\pm 2a\\[5pt]
\color{red}{\boldsymbol\Longrightarrow}\ &{\rm FP}^2=({\rm F’P}\pm 2a)^2\\[5pt]
\iff &{\rm FP}^2={\rm F’P}^2\pm 4a\cdot{\rm F’P}+4a^2\\[5pt]
\iff &(x\!-\!c)^2\!+\!y^2\!=\!(x\!+\!c)^2\!+\!y^2\!\pm\! 4a\sqrt{(x\!+\!c)^2\!+\!y^2}\!+\!4a^2\\[5pt]
\iff &\pm a\sqrt{(x+c)^2+y^2}=a^2+cx\\[5pt]
\iff &a^2\{(x+c)^2+y^2\}=(a^2+cx)^2\\[5pt]
\iff &(c^2-a^2)x^2-a^2y^2=a^2(c^2-a^2)
\end{align*}\]
ここで $\sqrt{c^2-a^2}=b$ とおくと，
\[\begin{align*}
b^2x^2-a^2y^2&=a^2b^2\\[5pt]
\therefore\ \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}&=1\ \ \cdots\mbox{②}
\end{align*}\]
よって条件①を満たす点は，曲線②上にある．逆に曲線②上の任意の点は，$c=\sqrt{a^2+b^2}$ とおくことで条件①を満たす．(詳しくはスライド で．)
方程式②を，双曲線の方程式の標準形という．
直線FF’と双曲線の２つの交点を頂点，線分FF’の中点を双曲線の中心という．
双曲線は，$x$ 軸，$y$ 軸，原点に関して対称である．
補足
双曲線においては，$a,b$ の大小関係を考えなくてよい．
発展的補足
双曲線上の任意の点から焦点までの距離は，ルートがつかない
平面上の2点 $(x_1,\ y_1),\ (x_2,\ y_2)$ の距離は，$\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}$ で計算され，通常ルート $\sqrt{\hspace{6mm}}$ は外れないことが多い．しかし，放物線 や 楕円 のときがそうであったように，双曲線の場合も双曲線上の任意の点と，一方の焦点までの距離は，ルートがつかない式として表すことができるのである．
双曲線上の任意の点を $(x_1,\ y_1)$ とする．$\dfrac{{x_1}^2}{a^2}-\dfrac{{y_1}^2}{b^2}=1$ より ${y_1}^2=b^2\left(\dfrac{{x_1}^2}{a^2}-1\right)$ であることに注意すると，例えば焦点 $(c,\ 0)$ までの距離は，
\[\begin{align*}
&\sqrt{(x_1-c)^2+{y_1}^2}\\[5pt]
=&\sqrt{({x_1}^2-2cx_1+c^2)+{y_1}^2}\\[5pt]
=&\sqrt{({x_1}^2-2cx_1+c^2)+b^2\left(\dfrac{{x_1}^2}{a^2}-1\right)}\\[5pt]
=&\sqrt{\dfrac{a^2+b^2}{a^2}{x_1}^2-2cx_1-b^2+c^2}\\[5pt]
=&\sqrt{\dfrac{c^2}{a^2}{x_1}^2-2cx_1+a^2}\ \ (\because\ c=\sqrt{a^2+b^2})\\[5pt]
=&\sqrt{\left(\dfrac ca{x_1}-a\right)^2}\\[5pt]
=&\left|\dfrac ca{x_1}-a\right|
\end{align*}\]
と表される．すなわち双曲線上の任意の点 $(x_1,\ y_1)$ と焦点 $(c,\ 0)$ までの距離 $\sqrt{(x_1-c)^2+{y_1}^2}$ は，$\left|\dfrac ca{x_1}-a\right|$ としてルートがつかない式で表されるのである．もう一方の焦点 $(-c,\ 0)$ までの距離は，この式の $c$ を $-c$ に置き換えればよい．
焦点からの距離が最も小さい点は頂点
ついでに述べておくと，この式によって，焦点 $(c,\ 0)$ からの距離が最小となる双曲線上の点は，頂点の1つである点 $(a,\ 0)$ で，その最小値は $c-a$ であることがわかる．何故なら，関数 $y=\left|\dfrac ca x-a\right|$ のグラフが次のようになるからである．
これで放物線，楕円，双曲線の各場合について，曲線上の任意の点から焦点までの距離がルートを含まない式として表すことができることを見た．この事実は難関大入試問題で，曲線上の2点と焦点を結んだ三角形を考えさせる問題などで活躍する場合がある．
双曲線の漸近線
漸近線の方程式の求め方
$\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1\ \cdots$①より
\[y^2=\frac{b^2}{a^2}(x^2-a^2)\]
今，$x>0,y>0$ の場合を考えると，