6．2次曲線の性質(ノート)｜スライドで学ぶ高校数学

高校数学[総目次]

数学Ⅲ　第5章　2次曲線

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6. 2次曲線の性質	[会員]
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6．2次曲線の性質

　放物線，楕円，双曲線の3つの曲線は，

• 放物線：定点と定直線から等距離にある点の軌跡
• 楕円：2点からの距離の和が一定である点の軌跡
• 双曲線：2点からの距離の差が一定である点の軌跡

として導入された．実はこれら2次曲線はもう少し統一した形でも導入することができる．それは以下に示す離心率と呼ばれる比率を用いた方法だ．

6.1 離心率

　原点Oを通らない定直線 $\ell$ を $x=k$，点P$(x,y)$ から $\ell$ に下ろした垂線の足をHとする． OP：PH$=e:1$ $(e>0)$ となる点Pの軌跡を考えよう．

\[\begin{align*} &{\rm OP:PH}=e:1\\[5pt] \iff& {\rm OP}=e{\rm PH}\\[5pt] \iff& \sqrt{x^2+y^2}=e|x-k|\\[5pt] \iff& x^2+y^2=e^2(x-k)^2\\[5pt] \iff& (1-e^2)x^2+y^2+2e^2kx-e^2k^2=0 \end{align*}\]

　従って

• $0<e<1$ のとき
  $x^2$ と $y^2$ の係数が同符号になるから楕円
  （もちろんこのとき $-2e^2kx+e^2k^2>0$ となることは必要）
• $e=1$ のとき
  $x^2$ の項が落ちるから放物線
• $e>1$ のとき
  $x^2$ と $y^2$ の係数が異符号になるから双曲線

となることがわかる．（$x^2$ と $y^2$ の項以外は概形を決定付けない．）

　一般に，定点Fと，Fを通らない直線 $\ell$ からの距離の比が FP：PH$=e:1$ $(e>0)$ となる点Pの軌跡は次のようになる：

　　　①　$0<e<1$ のとき　楕円
　　　②　$e=1$ のとき　　放物線
　　　③　$e>1$ のとき　　双曲線

　$e$ の値を2次曲線の離心率(eccentricity)，直線 $\ell$ を準線という．

例題　原点Oと直線 $x=3$ からの距離の比が一定で，$e:1$ である点Pの軌跡 $C$ を，
　　[1] $e=\dfrac12$　[2] $e=1$　[3] $e=2$
の各場合について求めよ．

こたえ

　${\rm OP:PH}=e:1$ より，${\rm OP}=e{\rm PH}$

　両辺を2乗して　${\rm OP}^2=e^2{\rm PH}^2$

　よって　　$x^2+y^2=e^2|x-3|^2$

　整理して　$(1-e^2)x^2+y^2+6e^2x-9e^2=0\ \cdots$①

[1] $e=\dfrac12$ のとき

　　①に代入して整理すると　$\dfrac{(x+1)^2}4+\dfrac{y^2}3=1$

　　よって $C$ は楕円 $\dfrac{x^2}4+\dfrac{y^2}3=1$ を $x$ 軸方向に $-1$ だけ平行移動した楕円．

[2] $e=1$ のとき

　　①に代入して整理すると　$y^2=-6\left(x-\dfrac32\right)$

　　よって $C$ は放物線 $y^2=-6x$ を $x$ 軸方向に $\dfrac32$ だけ平行移動した放物線．

[3] $e=2$ のとき

　　①に代入して整理すると　$\dfrac{(x-4)^2}4-\dfrac{y^2}{12}=1$

　　よって $C$ は双曲線 $\dfrac{x^2}4-\dfrac{y^2}{12}=1$ を $x$ 軸方向に $4$ だけ平行移動した双曲線．

補足

　双曲線は2つの曲線が対になっているが，すぐ上の図を見ればわかるように1つの焦点と対応する準線1本で2つの曲線が共に描かれる．

6.2 標準形と離心率

楕円

　楕円 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\ (a>b>0)$ 上の点をP$(x,y)$，焦点の1つをF$(c,0)$ とする．$(c=\sqrt{a^2-b^2})$

\[\begin{align} {\rm FP}&=\sqrt{(x-c)^2+y^2}\\[5pt] &=\sqrt{(x^2-2cx+c^2)+\left(-\frac {b^2}{a^2}x^2+b^2\right)}\\[5pt] &=\sqrt{\frac{a^2-b^2}{a^2}x^2-2cx+(b^2+c^2)}\\[5pt] &=\sqrt{\frac{c^2}{a^2}x^2-2cx+a^2}\ \ (\because c=\sqrt{a^2-b^2})\\[5pt] &=\sqrt{\left(\frac cax-a\right)^2}\\[5pt] &=\left|\frac cax-a\right|\\[5pt] &=\frac ca\left|x-\frac{a^2}c\right| \end{align}\]

　よって，直線 $\ell$ を $x=\dfrac{a^2}c$ とし，Pから $\ell$ に下ろした垂線の足をHとすると，

\[{\rm FP}=\dfrac ca{\rm PH}\]

\[\therefore {\rm FP:PH}=\frac ca:1\]

　従って離心率 $e=\dfrac ca=\dfrac{\sqrt{a^2-b^2}}a$ である．

　またこのときの $e$ を用いると，$c=ae$ より

　　　準線 $\ell:x=\dfrac{a^2}c=\dfrac ae$
　　　焦点：$(ae,0)$

となる．また対称性により，

　　　準線 $\ell:x=-\dfrac{a^2}c=-\dfrac ae$
　　　焦点：$(-ae,0)$

の組もある．

まとめ 　楕円 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\ (a>b>0)$ において，
　　離心率　$e=\dfrac{\sqrt{a^2-b^2}}a$
　　焦点　　$(\pm ae,0)$
　　準線　　$x=\pm\dfrac ae$
　　(複号同順)

双曲線

　双曲線 $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1\ (a>0,b>0)$ 上の点をP$(x,y)$，焦点の1つをF$(c,0)$ とする．$(c=\sqrt{a^2+b^2})$

\[\begin{align} {\rm FP}&=\sqrt{(x-c)^2+y^2}\\[5pt] &=\sqrt{(x^2-2cx+c^2)+\left(\frac {b^2}{a^2}x^2-b^2\right)}\\[5pt] &=\sqrt{\frac{a^2+b^2}{a^2}x^2-2cx+(c^2-b^2)}\\[5pt] &=\sqrt{\frac{c^2}{a^2}x^2-2cx+a^2}\ \ (\because c=\sqrt{a^2+b^2})\\[5pt] &=\sqrt{\left(\frac cax-a\right)^2}\\[5pt] &=\left|\frac cax-a\right|\\[5pt] &=\frac ca\left|x-\frac{a^2}c\right| \end{align}\]

　従って離心率 $e=\dfrac ca=\dfrac{\sqrt{a^2+b^2}}a$ である．

　またこのときの $e$ を用いると，$c=ae$ より

　　　準線 $\ell:x=\dfrac{a^2}c=\dfrac ae$
　　　焦点：$(ae,0)$

となる．また対称性により

　　　準線 $\ell:x=-\dfrac{a^2}c=-\dfrac ae$
　　　焦点：$(-ae,0)$

の組もある．

まとめ 　双曲線 $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1\ (a>0,b>0)$ において，
　　離心率　$e=\dfrac{\sqrt{a^2+b^2}}a$
　　焦点　　$(\pm ae,0)$
　　準線　　$x=\pm\dfrac ae$
　　(複号同順)