高校数学[総目次]

数学Ⅲ 第5章 2次曲線

  スライド ノート
1. 放物線 [会員]  
2. 楕円 [会員]  
3. 双曲線 [会員]  
4. 2次曲線の平行移動 [会員]  
5. 2次曲線と直線 [会員]  
6. 2次曲線の性質 [会員]  
7. 曲線の媒介変数表示 [会員]  
8. 極座標と極方程式 [会員]  

6.2次曲線の性質

6.1 離心率

 定点Fと,Fを通らない直線 $\ell$ からの距離の比が FP:PH$=e:1$ となる点Pの軌跡は次のようになる:

   ① $0<e<1$ のとき 楕円
   ② $e=1$ のとき  放物線
   ③ $e>1$ のとき  双曲線

 $e$ の値を2次曲線の離心率(eccentricity),直線 $\ell$ を準線という.

例題 原点Oと直線 $x=3$ からの距離の比が一定で,$e:1$ である点Pの軌跡 $C$ を,
  [1] $e=\dfrac12$ [2] $e=1$ [3] $e=2$
の各場合について求めよ.

こたえ

 ${\rm OP:PH}=e:1$ より,${\rm OP}=e{\rm PH}$

 両辺を2乗して ${\rm OP}^2=e^2{\rm PH}^2$

 よって  $x^2+y^2=e^2|x-3|^2$

 整理して $(1-e^2)x^2+y^2+6e^2x-9e^2=0\ \cdots$①

[1] $e=\dfrac12$ のとき

  ①に代入して整理すると $\dfrac{(x+1)^2}4+\dfrac{y^2}3=1$

  よって $C$ は楕円 $\dfrac{x^2}4+\dfrac{y^2}3=1$ を $x$ 軸方向に $-1$ だけ平行移動した楕円.

[2] $e=1$ のとき

  ①に代入して整理すると $y^2=-6\left(x-\dfrac32\right)$

  よって $C$ は放物線 $y^2=-6x$ を $x$ 軸方向に $\dfrac32$ だけ平行移動した放物線.

[3] $e=2$ のとき

  ①に代入して整理すると $\dfrac{(x-4)^2}4-\dfrac{y^2}{12}=1$

  よって $C$ は双曲線 $\dfrac{x^2}4-\dfrac{y^2}{12}=1$ を $x$ 軸方向に $4$ だけ平行移動した双曲線.

6.2 標準形と離心率

楕円

 楕円 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\ (a>b>0)$ 上の点をP$(x,y)$,焦点の1つをF$(c,0)$ とする.$(c=\sqrt{a^2-b^2})$

\[\begin{align} {\rm FP}&=\sqrt{(x-c)^2+y^2}\\[5pt] &=\sqrt{(x^2-2cx+c^2)+\left(-\frac {b^2}{a^2}x^2+b^2\right)}\\[5pt] &=\sqrt{\frac{a^2-b^2}{a^2}x^2-2cx+(b^2+c^2)}\\[5pt] &=\sqrt{\frac{c^2}{a^2}x^2-2cx+a^2}\ \ (\because c=\sqrt{a^2-b^2})\\[5pt] &=\sqrt{\left(\frac cax-a\right)^2}\\[5pt] &=\left|\frac cax-a\right|\\[5pt] &=\frac ca\left|x-\frac{a^2}c\right| \end{align}\]

 よって,直線 $\ell$ を $x=\dfrac{a^2}c$ とし,Pから $\ell$ に下ろした垂線の足をHとすると,

\[{\rm FP}=\dfrac ca{\rm PH}\]

\[\therefore {\rm FP:PH}=\frac ca:1\]

 従って離心率 $e=\dfrac ca=\dfrac{\sqrt{a^2-b^2}}a$ である.

 またこのときの $e$ を用いると,$c=ae$ より

   準線 $\ell:x=\dfrac{a^2}c=\dfrac ae$
   焦点:$(ae,0)$

となる.また対称性により,

   準線 $\ell:x=-\dfrac{a^2}c=-\dfrac ae$
   焦点:$(-ae,0)$

の組もある.

まとめ  楕円 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\ (a>b>0)$ において,
  離心率 $e=\dfrac{\sqrt{a^2-b^2}}a$
  焦点  $(\pm ae,0)$
  準線  $x=\pm\dfrac ae$
  (複号同順)

双曲線

 双曲線 $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1\ (a>0,b>0)$ 上の点をP$(x,y)$,焦点の1つをF$(c,0)$ とする.$(c=\sqrt{a^2+b^2})$

\[\begin{align} {\rm FP}&=\sqrt{(x-c)^2+y^2}\\[5pt] &=\sqrt{(x^2-2cx+c^2)+\left(\frac {b^2}{a^2}x^2-b^2\right)}\\[5pt] &=\sqrt{\frac{a^2+b^2}{a^2}x^2-2cx+(c^2-b^2)}\\[5pt] &=\sqrt{\frac{c^2}{a^2}x^2-2cx+a^2}\ \ (\because c=\sqrt{a^2+b^2})\\[5pt] &=\sqrt{\left(\frac cax-a\right)^2}\\[5pt] &=\left|\frac cax-a\right|\\[5pt] &=\frac ca\left|x-\frac{a^2}c\right| \end{align}\]

 従って離心率 $e=\dfrac ca=\dfrac{\sqrt{a^2+b^2}}a$ である.

 またこのときの $e$ を用いると,$c=ae$ より

   準線 $\ell:x=\dfrac{a^2}c=\dfrac ae$
   焦点:$(ae,0)$

となる.また対称性により

   準線 $\ell:x=-\dfrac{a^2}c=-\dfrac ae$
   焦点:$(-ae,0)$

の組もある.

まとめ  双曲線 $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1\ (a>0,b>0)$ において,
  離心率 $e=\dfrac{\sqrt{a^2+b^2}}a$
  焦点  $(\pm ae,0)$
  準線  $x=\pm\dfrac ae$
  (複号同順)

このページで疑問は解決されましたか?

 こちら から数学に関するご質問・ご要望をお寄せください。