高校数学[総目次]
数学Ⅲ 第5章 2次曲線
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1. 放物線 | [会員] | |
2. 楕円 | [会員] | |
3. 双曲線 | [会員] | |
4. 2次曲線の平行移動 | [会員] | |
5. 2次曲線と直線 | [会員] | |
6. 2次曲線の性質 | [会員] | |
7. 曲線の媒介変数表示 | [会員] | |
8. 極座標と極方程式 | [会員] |

8.極座標と極方程式
8.1 極座標

注意
① $\theta$ は弧度法を用いる.
② 極Oの極座標は,偏角が定まらないので $\theta$ を任意の実数として $(0,\theta)$ と定める.
③ $(r,\theta)$ と $(r,\theta+2n\pi)$ ($n$ は整数)は同じ点を表す.

8.2 極座標と直交座標
これまでの座標表示(直交座標という) $(x,y)$ と,極座標 $(r,\theta)$ との関係は,原点を極,$x$ 軸の正の部分を始線とすると次のようになる:

例題1 極座標が $\left(4,\dfrac\pi6\right)$ である点Pの直交座標を求めよ.
こたえ
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例題2 直交座標が $(-1,\sqrt3)$ である点Pの極座標 $(r,\theta)$ を求めよ.ただし,$0\leqq\theta<2\pi$ とする.
こたえ
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8.3 極方程式
極座標 $(r,\theta)$ に関する方程式 $r=f(\theta)$ や,$F(r,\theta)=0$ を,極方程式という.
極方程式における $r<0$ の取り扱い
一般に,$\cos(\theta+\pi)=-\cos\theta$,$\sin(\theta+\pi)=-\sin\theta$ であるから,
\[\begin{align} &x=r\cos\theta=-r\cos(\theta+\pi)\\[5pt] &y=r\sin\theta=-r\sin(\theta+\pi) \end{align}\]
よって,極方程式においては $r<0$ も許し,2点 $(-r,\theta)$ と $(r,\theta+\pi)$ を同じ点とみなす.
極方程式における $r<0$ の取り扱い 点$(-r,\theta)$ は,点 $(r,\theta+\pi)$ とみなす
例1 極Oを中心とする半径2の円の極方程式
$r=2$ で,$\theta$ は任意
よって極方程式は,$r=2$
(極からの距離が2である点の集合)
例2 中心Aの極座標 $(a,0)$,半径 $a$ の円の極方程式

図より,$r=2a\cos\theta$
補足
極座標では,平行移動は苦手.拡大・縮小と回転移動は得意.
代表的な極方程式
直交座標 | 極座標 |
$x^2+y^2=1$ | $r=1$ |
$y=x$ | $\theta=\dfrac\pi4$ |
$x=1$ | $r\cos\theta=1$ |
$y=1$ | $r\sin\theta=1$ |
$(x-a)^2+y^2=a^2$ | $r=2a\cos\theta$ |
$x^2+(y-b)^2=b^2$ | $r=2b\sin\theta$ |
例題1 次の極方程式表される曲線は何か.
(1) $r=6\cos\theta$
(2) $\theta=\dfrac\pi3$
(3) $r\cos\left(\theta-\dfrac\pi4\right)=2$
こたえ
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例題2[極方程式→直交座標の方程式]
極方程式 $r=2(\cos\theta+\sin\theta)$ の表す曲線を,直交座標の方程式で表せ.
こたえ
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例題3[直交座標の方程式→極方程式]
双曲線 $x^2-y^2=1$ を極方程式で表せ.
こたえ
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8.4 2次曲線の極方程式

焦点:極O
準線:極座標A $(a,0)(a>0)$ を通り,OXに垂直な直線
離心率:$e$
の2次曲線の方程式
${\rm OP:PH}=e:1$ より,${\rm OP}=e{\rm PH}$
よって
\[\begin{align} |r|&=e|a-r\cos\theta|\\[5pt] \therefore r&=\pm e(a-r\cos\theta) \end{align}\]
よって $(1\pm e\cos\theta)r=\pm ea$ (複号同順)
従って $r=\dfrac{ea}{a+e\cos\theta}$ または $-r=\dfrac{ea}{a+e\cos(\theta+\pi)}$
ここで $(r,\theta)$ と $(-r,\theta+\pi)$ は同じ点を表すから,2つの式は同じ曲線を表す.
\[r=\frac{ea}{1+e\cos\theta}\]
$0<e<1$ 楕円
$e=1$ 放物線
$e>1$ 双曲線
例題 極方程式 $r=\dfrac3{1+2\cos\theta}$ を直交座標の方程式で表せ.
こたえ
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