8．極座標と極方程式(ノート)｜スライドで学ぶ高校数学

高校数学[総目次]

数学Ⅲ　第5章　2次曲線

	スライド	ノート
1. 放物線	[会員]
2. 楕円	[会員]
3. 双曲線	[会員]
4. 2次曲線の平行移動	[会員]
5. 2次曲線と直線	[会員]
6. 2次曲線の性質	[会員]
7. 曲線の媒介変数表示	[会員]
8. 極座標と極方程式	[会員]

8．極座標と極方程式

8.1 極座標

注意

　①　$\theta$ は弧度法を用いる．
　②　極Oの極座標は，偏角が定まらないので $\theta$ を任意の実数として $(0,\theta)$ と定める．
　③　$(r,\theta)$ と $(r,\theta+2n\pi)$ ($n$ は整数)は同じ点を表す．

8.2 極座標と直交座標

　これまでの座標表示(直交座標という) $(x,y)$ と，極座標 $(r,\theta)$ との関係は，原点を極，$x$ 軸の正の部分を始線とすると次のようになる：

例題1　極座標が $\left(4,\dfrac\pi6\right)$ である点Pの直交座標を求めよ．

例題2　直交座標が $(-1,\sqrt3)$ である点Pの極座標 $(r,\theta)$ を求めよ．ただし，$0\leqq\theta<2\pi$ とする．

8.3 極方程式

　極座標 $(r,\theta)$ に関する方程式 $r=f(\theta)$ や，$F(r,\theta)=0$ を，極方程式という．

極方程式における$r<0$の取り扱い

　一般に，$\cos(\theta+\pi)=-\cos\theta$，$\sin(\theta+\pi)=-\sin\theta$ であるから，

\[\begin{align} &x=-r\cos\theta=r\cos(\theta+\pi)\\[5pt] &y=-r\sin\theta=r\sin(\theta+\pi) \end{align}\]

　よって，極方程式においては $r<0$ も許し，2点 $(-r,\theta)$ と $(r,\theta+\pi)$ を同じ点とみなす．

極方程式における $r\!<\!0$ 　点$(-r,\theta)$ は，点 $(r,\theta+\pi)$ とみなす

例1　極Oを中心とする半径2の円の極方程式

　　　$r=2$ で，$\theta$ は任意

　　よって極方程式は，$r=2$
　　(極からの距離が2である点の集合)

例2　中心Aの極座標 $(a,0)$，半径 $a$ の円の極方程式

　　　図より，$r=2a\cos\theta$

補足

　極座標では，平行移動は苦手．拡大・縮小と回転移動は得意．

代表的な極方程式

直交座標	極座標
$x^2+y^2=1$	$r=1$
$y=x$	$\theta=\dfrac\pi4$
$x=1$	$r\cos\theta=1$
$y=1$	$r\sin\theta=1$
$(x-a)^2+y^2=a^2$	$r=2a\cos\theta$
$x^2+(y-b)^2=b^2$	$r=2b\sin\theta$

例題1　次の極方程式表される曲線は何か．
(1) $r=6\cos\theta$
(2) $\theta=\dfrac\pi3$
(3) $r\cos\left(\theta-\dfrac\pi4\right)=2$

例題2[極方程式→直交座標の方程式]
　極方程式 $r=2(\cos\theta+\sin\theta)$ の表す曲線を，直交座標の方程式で表せ．

例題3[直交座標の方程式→極方程式]
　双曲線 $x^2-y^2=1$ を極方程式で表せ．

8.4 2次曲線の極方程式

　焦点：極O
　準線：極座標A $(a,0)(a>0)$ を通り，OXに垂直な直線
　離心率：$e$
の2次曲線の方程式

　${\rm OP:PH}=e:1$ より，${\rm OP}=e{\rm PH}$

　よって

\[\begin{align} |r|&=e|a-r\cos\theta|\\[5pt] \therefore r&=\pm e(a-r\cos\theta) \end{align}\]

　故に　$(1\pm e\cos\theta)r=\pm ea$ (複号同順)

　従って　$r=\dfrac{ea}{1+e\cos\theta}$　または　$-r=\dfrac{ea}{1+e\cos(\theta+\pi)}$

　第2式は第1式の $(r,\theta)$ を $(-r,\theta+\pi)$ に置き換えた式ともとれるが，$(r,\theta)$ と $(-r,\theta+\pi)$ は同じ点を表すから，結局第1式だけで用が足りる．

\[r=\frac{ea}{1+e\cos\theta}\]

　2次曲線の性質のところで確認したように，離心率 $e$ によってこの極方程式は次を表す．
　　$0<e<1$ のとき　楕円
　　$e=1$ のとき　　放物線
　　$e>1$ のとき　　双曲線

まとめ　焦点が極O，準線が極座標A $(a,0)(a>0)$ を通り，始線OXに垂直な直線，離心率が $e$ である2次曲線の極方程式は \[r=\frac{ea}{1+e\cos\theta}\] 　　$0<e<1$ のとき　楕円
　　$e=1$ のとき　　放物線
　　$e>1$ のとき　　双曲線

例題　極方程式 $r=\dfrac3{1+2\cos\theta}$ を直交座標の方程式で表せ．

---

高校数学[総目次]

数学Ⅲ　第5章　2次曲線

	スライド	ノート
1. 放物線	[会員]
2. 楕円	[会員]
3. 双曲線	[会員]
4. 2次曲線の平行移動	[会員]
5. 2次曲線と直線	[会員]
6. 2次曲線の性質	[会員]
7. 曲線の媒介変数表示	[会員]
8. 極座標と極方程式	[会員]