8．極座標と極方程式(ノート)｜スライドで学ぶ高校数学

高校数学[総目次]

数学Ⅲ　第5章　2次曲線

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8．極座標と極方程式

8.1 極座標

注意

　①　$\theta$ は弧度法を用いる．
　②　極Oの極座標は，偏角が定まらないので $\theta$ を任意の実数として $(0,\theta)$ と定める．
　③　$(r,\theta)$ と $(r,\theta+2n\pi)$ ($n$ は整数)は同じ点を表す．

8.2 極座標と直交座標

　これまでの座標表示(直交座標という) $(x,y)$ と，極座標 $(r,\theta)$ との関係は，原点を極，$x$ 軸の正の部分を始線とすると次のようになる：

例題1　極座標が $\left(4,\dfrac\pi6\right)$ である点Pの直交座標を求めよ．

こたえ

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　$x=4\cos\dfrac\pi6=2\sqrt3,\ y=4\sin\dfrac\pi6=2$
　従って　$(2\sqrt3,\ 2)$

例題2　直交座標が $(-1,\sqrt3)$ である点Pの極座標 $(r,\theta)$ を求めよ．ただし，$0\leqq\theta<2\pi$ とする．

こたえ

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　$r=\sqrt{(-1)^2+(\sqrt3)^2}=2$
　また図より　$\theta=\dfrac23\pi$
　よって　　$\left(2,\dfrac23\pi\right)$

8.3 極方程式

　極座標 $(r,\theta)$ に関する方程式 $r=f(\theta)$ や，$F(r,\theta)=0$ を，極方程式という．

極方程式における $r<0$ の取り扱い

　一般に，$\cos(\theta+\pi)=-\cos\theta$，$\sin(\theta+\pi)=-\sin\theta$ であるから，

\[\begin{align} &x=r\cos\theta=-r\cos(\theta+\pi)\\[5pt] &y=r\sin\theta=-r\sin(\theta+\pi) \end{align}\]

　よって，極方程式においては $r<0$ も許し，2点 $(-r,\theta)$ と $(r,\theta+\pi)$ を同じ点とみなす．

極方程式における $r<0$ の取り扱い 　点$(-r,\theta)$ は，点 $(r,\theta+\pi)$ とみなす

例1　極Oを中心とする半径2の円の極方程式

　　　$r=2$ で，$\theta$ は任意

　　よって極方程式は，$r=2$
　　(極からの距離が2である点の集合)

例2　中心Aの極座標 $(a,0)$，半径 $a$ の円の極方程式

　　　図より，$r=2a\cos\theta$

補足

　極座標では，平行移動は苦手．拡大・縮小と回転移動は得意．

代表的な極方程式

直交座標	極座標
$x^2+y^2=1$	$r=1$
$y=x$	$\theta=\dfrac\pi4$
$x=1$	$r\cos\theta=1$
$y=1$	$r\sin\theta=1$
$(x-a)^2+y^2=a^2$	$r=2a\cos\theta$
$x^2+(y-b)^2=b^2$	$r=2b\sin\theta$

例題1　次の極方程式表される曲線は何か．
(1) $r=6\cos\theta$
(2) $\theta=\dfrac\pi3$
(3) $r\cos\left(\theta-\dfrac\pi4\right)=2$

こたえ

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(1)　$r=2\cdot3\cos\theta$ より，極座標 $(3,0)$ を中心とする半径3の円．

(2)　極を通り，始線とのなす角が $\dfrac\pi3$ の直線．

(3)　極座標 $\left(2,\dfrac\pi4\right)$ を点Aとすると，Aを通り，OAに垂直な直線．

例題2[極方程式→直交座標の方程式]
　極方程式 $r=2(\cos\theta+\sin\theta)$ の表す曲線を，直交座標の方程式で表せ．

こたえ

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　与式の両辺に $r$ を掛けて

\[r^2=2(r\cos\theta+r\sin\theta)\]

　$r^2=x^2+y^2,\ r\cos\theta=x,\ r\sin\theta=y$ を代入して

　\[x^2+y^2=2(x+y)\]

故に求める方程式は，$x^2+y^2-2x-2y=0$

例題3[直交座標の方程式→極方程式]
　双曲線 $x^2-y^2=1$ を極方程式で表せ．

こたえ

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　$x=r\cos\theta,y=r\sin\theta$ を代入して，

\[r^2(\cos^2\theta-\sin^2\theta)=1\]

\[\therefore r^2\cos2\theta=1\]

8.4 2次曲線の極方程式

　焦点：極O
　準線：極座標A $(a,0)(a>0)$ を通り，OXに垂直な直線
　離心率：$e$
の2次曲線の方程式

　${\rm OP:PH}=e:1$ より，${\rm OP}=e{\rm PH}$

よって

\[\begin{align} |r|&=e|a-r\cos\theta|\\[5pt] \therefore r&=\pm e(a-r\cos\theta) \end{align}\]

　よって　$(1\pm e\cos\theta)r=\pm ea$ (複号同順)

　従って　$r=\dfrac{ea}{a+e\cos\theta}$　または　$-r=\dfrac{ea}{a+e\cos(\theta+\pi)}$

　ここで $(r,\theta)$ と $(-r,\theta+\pi)$ は同じ点を表すから，2つの式は同じ曲線を表す．

\[r=\frac{ea}{1+e\cos\theta}\]
　　$0<e<1$　楕円
　　$e=1$　　放物線
　　$e>1$　　双曲線

例題　極方程式 $r=\dfrac3{1+2\cos\theta}$ を直交座標の方程式で表せ．

こたえ

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　与式を変形して　$r(1+2\cos\theta)=3$

\[\therefore r=3-2r\cos\theta\]

　$r\cos\theta=x$ であるから，$r=3-2x$

　両辺を2乗して　$r^2=(3-2x)^2$

　$r^2=x^2+y^2$ を代入して，

\[\begin{align} x^2+y^2&=9-12x+4x^2\\[5pt] 3(x-2)^2-y^2&=3\\[5pt] (x-2)^2-\frac{y^2}3&=1 \end{align}\]

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