高校数学[総目次]

数学Ⅲ 第5章 2次曲線

  スライド ノート
1. 放物線 [会員]  
2. 楕円 [会員]  
3. 双曲線 [会員]  
4. 2次曲線の平行移動 [会員]  
5. 2次曲線と直線 [会員]  
6. 2次曲線の性質 [会員]  
7. 曲線の媒介変数表示 [会員]  
8. 極座標と極方程式 [会員]  

7.極座標と極方程式

7.1 極座標

注意

 ① $\theta$ は弧度法を用いる.
 ② 極Oの極座標は,偏角が定まらないので $\theta$ を任意の実数として $(0,\theta)$ と定める.
 ③ $(r,\theta)$ と $(r,\theta+2n\pi)$ ($n$ は整数)は同じ点を表す.

7.2 極座標と直交座標

 これまでの座標表示(直交座標という) $(x,y)$ と,極座標 $(r,\theta)$ との関係は,原点を極,$x$ 軸の正の部分を始線とすると次のようになる:

\[\begin{align} &x=r\cos\theta,\ y=r\sin\theta\\[5pt] &r^2=x^2+y^2 \end{align}\]

例題1 極座標が $\left(4,\dfrac\pi6\right)$ である点Pの直交座標を求めよ.

こたえ

 $x=4\cos\dfrac\pi6=2\sqrt3,\ y=4\sin\dfrac\pi6=2$
 従って $(2\sqrt3,\ 2)$

例題2 直交座標が $(-1,\sqrt3)$ である点Pの極座標 $(r,\theta)$ を求めよ.ただし,$0\leqq\theta<2\pi$ とする.

こたえ

 $r=\sqrt{(-1)^2+(\sqrt3)^2}=2$
 また図より $\theta=\dfrac23\pi$
 よって  $\left(2,\dfrac23\pi\right)$

7.3 極方程式

 極座標 $(r,\theta)$ に関する方程式 $r=f(\theta)$ や,$F(r,\theta)=0$ を,極方程式という.

極方程式における $r<0$ の取り扱い

 一般に,$\cos(\theta+\pi)=-\cos\theta$,$\sin(\theta+\pi)=-\sin\theta$ であるから,

\[\begin{align} &x=r\cos\theta=-r\cos(\theta+\pi)\\[5pt] &y=r\sin\theta=-r\sin(\theta+\pi) \end{align}\]

 よって,極方程式においては $r<0$ も許し,2点 $(-r,\theta)$ と $(r,\theta+\pi)$ を同じ点とみなす.

極方程式における $r<0$ の取り扱い  点$(-r,\theta)$ は,点 $(r,\theta+\pi)$ とみなす

例1 極Oを中心とする半径2の円の極方程式

   $r=2,\ \theta$ は任意

  よって極方程式は,$r=2$
  (極からの距離が2である点の集合)

例2 中心Aの極座標 $(a,0)$,半径 $a$ の円の極方程式

   図より,$r=2a\cos\theta$

補足

 極座標では,平行移動は苦手.拡大・縮小と回転移動は得意.

代表的な極方程式
直交座標極座標
$x^2+y^2=1$$r=1$
$y=x$$\theta=\dfrac\pi4$
$x=1$$r\cos\theta=1$
$y=1$$r\sin\theta=1$
$(x-a)^2+y^2=a^2$$r=2a\cos\theta$
$x^2+(y-b)^2=b^2$$r=2b\sin\theta$

例題1 次の極方程式表される曲線は何か.
(1) $r=6\cos\theta$
(2) $\theta=\dfrac\pi3$
(3) $r\cos\left(\theta-\dfrac\pi4\right)=2$

こたえ

(1) $r=2\cdot3\cos\theta$ より,極座標 $(3,0)$ を中心とする半径3の円.

(2) 極を通り,始線とのなす角が $\dfrac\pi3$ の直線.

(3) 極座標 $\left(2,\dfrac\pi4\right)$ を点Aとすると,Aを通り,OAに垂直な直線.

例題2[極方程式→直交座標の方程式]
 極方程式 $r=2(\cos\theta+\sin\theta)$ の表す曲線を,直交座標の方程式で表せ.

こたえ

 与式の両辺に $r$ を掛けて

\[r^2=2(r\cos\theta+r\sin\theta)\]

 $r^2=x^2+y^2,\ r\cos\theta=x,\ r\sin\theta=y$ を代入して

 \[x^2+y^2=2(x+y)\]

故に求める方程式は,$x^2+y^2-2x-2y=0$

例題3[直交座標の方程式→極方程式]
 双曲線 $x^2-y^2=1$ を極方程式で表せ.

こたえ

 $x=r\cos\theta,y=r\sin\theta$ を代入して,

\[r^2(\cos^2\theta-\sin^2\theta)=1\]

\[\therefore r^2\cos2\theta=1\]

7.4 2次曲線の極方程式

 焦点:極O
 準線:極座標A $(a,0)(a>0)$ を通り,OXに垂直な直線
 離心率:$e$
の2次曲線の方程式

 ${\rm OP:PH}=e:1$ より,${\rm OP}=e{\rm PH}$

よって

\[\begin{align} |r|&=e|a-r\cos\theta|\\[5pt] \therefore r&=\pm e(a-r\cos\theta) \end{align}\]

 よって $(1\pm e\cos\theta)r=\pm ea$ (複号同順)

 従って $r=\dfrac{ea}{a+e\cos\theta}$ または $-r=\dfrac{ea}{a+e\cos(\theta+\pi)}$

 ここで $(r,\theta)$ と $(-r,\theta+\pi)$ は同じ点を表すから,2つの式は同じ曲線を表す.

\[r=\frac{ea}{1+e\cos\theta}\]
  $0<e<1$ 楕円
  $e=1$  放物線
  $e>1$  双曲線

例題 極方程式 $r=\dfrac3{1+2\cos\theta}$ を直交座標の方程式で表せ.

こたえ

 与式を変形して $r(1+2\cos\theta)=3$

\[\therefore r=3-2r\cos\theta\]

 $r\cos\theta=x$ であるから,$r=3-2x$

 両辺を2乗して $r^2=(3-2x)^2$

 $r^2=x^2+y^2$ を代入して,

\[\begin{align} x^2+y^2&=9-12x+4x^2\\[5pt] 3(x-2)^2-y^2&=3\\[5pt] (x-2)^2-\frac{y^2}3&=1 \end{align}\]