極方程式における $r$ の正負について(ノート)

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1. はじめに

　平面上の点 P を極座標表示によって $(r,\ \theta)$ と表したときの $r$ は，極 O と点 P との距離であって， $r\geqq 0$ です．
　$r$ を $r\geqq 0$ に制限すると，$r$ と $\theta$ の関係式 $r=f(\theta)$（極方程式）において，例えば \[ r=\cos\theta -1\ \cdots \mbox{①}\] は，$\theta=2n\pi\ (n$ は整数) のとき $r=0$ となり，それ以外の $\theta$ では $r < 0$ となりますから，方程式①は1点 O (極)のみを表す式となります．
　ここで，$r < 0$ となる $\theta$ に対しては，$(-r,\ \theta +\pi)$ なる点に対応させると約束すれば，①は次のような曲線（カージオイド）を表すことになります：

　平面上の点に対して2通りの表現を許す，即ち \[ \mbox{点}(r,\ \theta)=\mbox{点}(-r,\ \theta+\pi) \] とすることによって，例えば次のような直交座標系における直線 $y=x$ を極方程式で表すと，

• $r\geqq 0$ に制限：$\theta=\dfrac \pi 4$，または $\theta=\dfrac 54\pi$.
• $r < 0$ も許す：$\theta=\dfrac \pi 4.\ \left(\mbox{または}\ \theta=\dfrac 54\pi.\right)$

といった具合に，$r<0$ も許すと，$\theta=\dfrac \pi 4$ と $\theta=\dfrac 54\pi $ のどちらか一方を書くだけでよくなり，式を簡単にすることができます．

　一方，$r < 0$ を許したことで，平面上における幾何的な考察をややこしくしている場合があります．
　例えば，次のような図において，$r>0$ のとき， \[\mbox{PH}=|a-r\cos\theta |\ \ \cdots \mbox{②} \] となることには誰もが疑いをはさまないでしょう．

　ここで「点 P が曲線 $r=\cos\theta -1($ $\leqq 0$) 上を動く」などという状況を考えるとき，PH を $\theta$ の関数として \[ \mbox{PH}=|a-(\cos\theta-1)\cos\theta|\ \ \cdots ③ \] と書いて大丈夫なのだろうか？という不安は生じないでしょうか．

2．極方程式における見方の転換

　ここでひとまず極座標 $(r,\ \theta)$ における $r$ と$ \theta$ が，それぞれ線分の長さと角度であるという幾何的な描像を忘れて，極方程式 $r=f(\theta)$ から得られる $r$ と $\theta$ の組に対して次のような見方をしてみましょう：

　$r=f(\theta)$ によって定まる $(r,\ \theta)$ の組は，極 O を原点，始線を $x$ 軸の正の向きとする直交座標の $(x,\ y)$ を \[ (x,\ y)=(r\cos\theta,\ r\sin\theta) \] によって与えるものである．

例　$f(\theta)=4\cos\theta$としたときの $r=f(\theta)$．

　$f\left(\dfrac \pi3\right)=2$ より $(r,\ \theta)=\left(2,\ \dfrac \pi 3\right).$
　　$\to (x,\ y)=\left(2\cos\dfrac\pi 3,\ 2\sin\dfrac\pi 3\right)=(1,\ \sqrt 3)$．
　$f\left(\dfrac 23\pi\right)=-2$ より $(r,\ \theta)=\left(-2,\ \dfrac 23\pi\right).$
　　$\to (x,\ y)=\left(-2\cos\dfrac 23\pi,\ -2\sin\dfrac 23\pi\right)=(1,\ -\sqrt 3)$．

　この見方は換言すれば，

　$r$ や $\theta$ は，（線分の長さや角度ではなく）直交座標における $(x,\ y)$ を与える2つの数字である

ということです．すると Section 1 における描像は下図左のようになり，線分 PH の式② は線分の長さの差として捉えたものではなく，$\boldsymbol x$ 座標の差 として捉えたものということになります．そして $r$ と $\theta$ が $r=\cos\theta -1$ という式で関係づけられているのであるならば，安心して PH の式② に代入してよいことがわかります（式③）．

3．発展

　極方程式における $r$ と $\theta$ を上のように見方を変えれば，次のような発展的な見方も可能となります：

　$r=f(\theta)$ によって定まる $(r,\ \theta)$ の組は，極 O を原点，始線を $x$ 軸の正の向きとする直交座標系を，極 O を中心に反時計回りに角度 $\alpha$ だけ回転した座標系における $(x,\ y)$ を \[ (x,\ y)=(r\cos(\theta-\alpha),\ r\sin(\theta-\alpha))\] によって与えるものである．

　この見方は，$x$ 軸の正の向きとのなす角が元は $\theta$ でしたが，それが $\alpha$ だけ小さくなっていることから了解されます．

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