高校数学[総目次]

高校数学ワンポイント

  スライド ノート
1. ファクシミリの原理 [無料]  
2. バウムクーヘン分割 [無料]  
3. 円と放物線    
4. 垂線の長さ    
5. 不定方程式    
6. 関数の連続性は導関数に遺伝するか    
7. 極方程式における $r$ の正負について    
8. 極座標表示における扇形分割積分    
9. 素因数分解の一意性    
10. 三角関数の不定積分    
11. シュワルツの不等式    
12. 放物線と2接線で囲まれた部分の面積    
13. 整式の除法(発展編)    
14. 3次関数のグラフの特徴    
15. 曲線の長さを求める公式の証明について    

13.整式の除法(発展編)

 整式の除法については数学Ⅱ第1章 式と証明の1.整式の除法で基本的なことを学びました.また,数学Ⅱ第2章 複素数と方程式の4.剰余の定理・因数定理では,整式の除法における余りについて学びました.ここではこれらの発展的な問題について説明します.

例題 $x$ の整式 $f(x)$ を $(x+1)^2$ で割ると余り $2x-2$,$(x+2)^2$ で割ると余り $3x-1$ であるという.$f(x)$ を次の式で割った余りを求めよ.
(1) $x+1$
(2) $x+2$
(3) $(x+1)^2(x+2)$
(4) $(x+1)^2(x+2)^2$

(1),(2)

 $f(x)$ を $(x+1)^2$ で割ると余りが $2x-2$ ですから,$Q(x)$ を整式として

\[f(x)=(x+1)^2Q(x)+2x-2\]

と表せます.$Q(x)$ をこの割り算の商といいます.

 剰余の定理によれば,$f(x)$ を $x+1$ で割った余りは $f(-1)$ ですから,

\[f(-1)=0^2\cdot Q(-1)+2\cdot(-1)-2=-4.\]

 従って余りは $-4$ です.同様にして $f(x)$ を $x+2$ で割った余りも $f(-2)=3\cdot(-2)-1=-7$ となります.

 さて,のちの発展問題に対処するため,この問題を別の方法でも解いてみます.

 $f(x)$ を $x+1$ で割ることを考える際,$(x+1)^2Q(x)$ の部分は $x+1$ で割り切れますから

$\boldsymbol{f(x)}$ $\boldsymbol{x+1}$ で割った余りは $\boldsymbol{2x-2}$ $\boldsymbol{x+1}$ で割った余りに等しい

ということがいえます.これをもっと簡単な例でいうと,$24\div7$ の余りを求めたいとき,

\[24=7\times2+10\]

と変形したとして,$7\times2$ の部分は 7 で割り切れますから,あとは残った 10 を 7 で割った余りを考えればよいということです.合同式の考え方と同じですね.

 $2x-2=2(x+1)-4$ ですから,$f(x)$ を $x+1$ で割った余りは $-4$ です.

 同様にして,

$f(x)=(x+2)^2(x$ の整式$)+3x-1$

ですから,$f(x)$ を $x+2$ で割った余りは $3x-1$ を $x+2$ で割った余りに等しく,

\[3x-1=3(x+2)-7\]

と変形できますから余りは $-7$ です.

 ここで大切なことは,

 $\boldsymbol{f(x)=g(x)h(x)+r(x)}$ と変形できるとき,$\boldsymbol{f(x)}$ を $\boldsymbol{g(x)}$ で割った余りは,$\boldsymbol{r(x)}$ を $\boldsymbol{g(x)}$ で割った余りに等しい

ということです.

(3)

 $f(x)$ を $(x+1)^2(x+2)$ で割った余りを $R(x)$ とすれば,

$f(x)=(x+1)^2(x+2)(x$ の整式$)+R(x)$

と表せます.そして既存の式から上の式を作り出すことを考えます.

 $f(x)=(x+1)^2Q(x)+2x-2$ でしたから,上の式をにらんで $Q(x)$ をあらかじめ1次式 $x+2$ で割っておきます.この

ポイント    商を予め適当な式で割っておく

というのがコツです.余りを定数 $a$ とすると,

$Q(x)=(x+2)(x$ の整式$)+a$

と書けます.ここに整式の除法におけるもう1つの重要な事柄が出てきました。それは

(割る式の次数) > (余りの次数)

です.割る式 $x+2$ は $x$ の1次式ですから,余りは0次式,すなわち定数です.それを $a$ とおいたのです.

 上の $Q(x)$ を $f(x)=(x+1)^2Q(x)+2x-2$ に代入すると

$f(x)\!=\!(x\!+\!1)^2\{$$(x\!+\!2)(x$の整式$)+a$$\}\!+\!2x\!-\!2.$

 変形をして

$f(x)\!=\!(x\!+\!1)^2(x\!+\!2)(x$の整式$)+$$a(x\!+\!1)^2\!+\!2x\!-\!2$.

 割る式 $(x+1)^2(x+2)$ は3次式ですから,余りは2次以下です.    部分は2次以下ですから,これが求める余りです.あとは $a$ を決定します.

 冒頭で剰余の定理によって $f(-2)=-7$ でしたから,この式の $x$ を $-2$ とおくと,

\[-7=a(-2+1)^2+2\cdot(-2)-2\]

\[\therefore a=-1\]

 従って

   部分$=-(x+1)^2+2x-2=-x^2-3$

となり,これが求める余りです.

別解

 $f(x)\!=\!(x\!+\!1)^2(x\!+\!2)(x$の整式$)+a(x\!+\!1)^2\!+\!2x\!-\!2$ から,この式を $x+2$ で割った余りは $a(x\!+\!1)^2\!+\!2x\!-\!2$ を $x+2$ で割った余りに等しいことがわかります.よってこの式を $\boldsymbol{x+2}$ について展開すると,

\[\begin{align*} &a(x+1)^2+2x-2\\[5pt] =&a\{(x+2)-1\}^2+2(x+2)-6\\[5pt] =&\underline{a(x+2)^2-2a(x+2)+2(x+2)}_{①}\!+a-6 \end{align*}\]

となります.①は $x+2$ で割り切れますから,$f(x)$ を $x+2$ で割った余りは $a-6$ となり,これが $-7$ に等しいのですから $a=-1$.これ以降は先の解法と同じです.

(4)

 (3)より,$Q_1(x)$ を $x$ の整式として

$f(x)=(x+1)^2(x+2)Q_1(x)-x^2-3$

と表せます.ここから(3)と同様に,商である $Q_1(x)$ を $x+2$ で予め割っておきます.商を $Q_2(x)$,余りを $b$ とすると

$Q_1(x)=(x+2)Q_2(x)+b$

と表せます.これをすぐ上の式に代入して,

\[\begin{align*} f(x)&\!=\!(x\!+\!1)^2(x\!+\!2)\{(x\!+\!2)Q_2(x)\!+\!b\}\!-\!x^2\!-\!3\\[5pt] \!&=\!(x\!+\!1)^2(x\!+\!2)^2Q_2(x)\!+\!\underline{b(x\!+\!1)^2(x\!+\!2)\!-\!x^2\!-\!3} \end{align*}\]

 この先,(3)では $f(-2)=-7$ を用いて解決できましたが,今回は $f(-2)=-7$ でも $f(-1)=-4$ でも $b$ が落ちてしまいます.

  $f(x)$ を $(x+2)^2$ で割った余りは下線部$\underline{\hspace{10mm}}$を $(x+2)^2$ で割った余りと一致します.この部分を $x+2$ について展開してみましょう.

 $x+2=t$ とおくと,$x=t-2$ ですから,

\[\begin{align*} &b(x+1)^2(x+2)-x^2-3\\[5pt] =&b\{(t-2)+1\}^2\,t-(t-2)^2-3\\[5pt] =&b(t^3-2t^2+t)-(t^2-4t+4)-3\\[5pt] =&bt^3-(2b+1)t^2+(b+4)t-7 \end{align*}\]

となります.$f(x)$ を $t^2$ 即ち $(x+2)^2$ で割った余りは,$(b+4)t-7$ 即ち $t$ を元に戻して

\[(b+4)(x+2)-7=(b+4)x+2b+1\]

となり,これが $3x-1$ ですから $b=-1$ となります.従って求める余りは上の下線部より,

\[-(x+1)^2(x+2)-x^2-3=\boldsymbol{-x^3-5x^2-5x-5}\]

です.

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