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 図の斜線部分を $\boldsymbol{y}$ 軸のまわりに1回転させてできる立体の体積は, \[\boldsymbol{\int_a^b\!2\pi xf(x)\,dx}\]

証明

 図の斜線部分を $y$ 軸のまわりに1回転させてできる立体の体積を $V(x)$ とします.$x$ が微小量 $\Delta x(>0)$ だけ変化したときの体積の変化量 $V(x+\Delta x)-V(x)$ は,$x$ から $x+\Delta x$ までの $f(x)$ の最大値,最小値をそれぞれ $M,\ m$ とすれば \[\begin{align*} \pi (x+\Delta x)^2m-&\pi x^2m\\[5pt] &\leqq V(x+\Delta x)-V(x)\\[5pt] &\hspace{20mm}\leqq \pi(x+\Delta x)^2M-\pi x^2M \end{align*}\] と評価できます.左辺と右辺を計算して, \[\begin{align*} 2\pi xm\Delta x+&\pi m(\Delta x)^2\\[5pt] &\leqq V(x+\Delta x)-V(x)\\[5pt] &\hspace{20mm}\leqq 2\pi xM\Delta x+\pi M(\Delta x)^2. \end{align*}\]  各辺を正の数 $\Delta x$ で割って, \[\begin{align*} 2\pi xm+&\pi m\Delta x\\[5pt] &\leqq \frac{V(x+\Delta x)-V(x)}{\Delta x}\\[5pt] &\hspace{20mm}\leqq 2\pi xM+\pi M\Delta x. \end{align*}\]  ここで,$\Delta x\to +0$ のとき,$M\to f(x),\ m\to f(x)$ となりますから,はさみうちの原理より中辺は, \[\lim_{\Delta x\to+0}\frac{V(x+\Delta x)-V(x)}{\Delta x}=2\pi xf(x)\] です.$\Delta x<0$のときも同様にして$\Delta x\to -0$ の極限を考えると, \[\lim_{\Delta x\to-0}\frac{V(x+\Delta x)-V(x)}{\Delta x}=2\pi xf(x)\] となりますから,結局 \[\lim_{\Delta x\to 0}\frac{V(x+\Delta x)-V(x)}{\Delta x}=2\pi xf(x)\] となります.ところで,左辺の $\displaystyle\lim_{\Delta x\to 0}\frac{V(x+\Delta x)-V(x)}{\Delta x}$ は,$V'(x)$ の定義式に他なりませんから, \[V'(x)=2\pi xf(x)\] です.つまり,$V(x)$ の導関数が $2\pi xf(x)$ であるということがわかりました.よって求める体積は, \[\begin{align*} V(b)-V(a)&=\Bigl[V(x)\Bigr]_a^b\\ &=\int_a^b\!V'(x)\,dx\\ &=\int_a^b\!2\pi xf(x)\,dx \end{align*}\] となるのです.

補足

 円筒形を,縦に切り込みを入れて展開すると,$\Delta x$ が十分小さいとき,概略直方体になります:

 この直方体の体積は \[2\pi xf(x)\,\Delta x\] です.円筒形の体積を直方体の体積で近似して,足し上げていったものがバウムクーヘン分割の式といえます.