バウムクーヘン分割(ノート)

高校数学[総目次]

高校数学ワンポイント

	スライド	ノート
1. ファクシミリの原理	[無料]
2. バウムクーヘン分割	[無料]
3. 円と放物線
4. 垂線の長さ
5. 不定方程式
6. 関数の連続性は導関数に遺伝するか
7. 極方程式における $r$ の正負について
8. 極座標表示における扇形分割積分
9. 素因数分解の一意性
10. 三角関数の不定積分
11. シュワルツの不等式
12. 放物線と2接線で囲まれた部分の面積
13. 整式の除法(発展編)
14. 3次関数のグラフの特徴
15. 曲線の長さを求める公式の証明について

証明

　図の斜線部分を $y$ 軸のまわりに1回転させてできる立体の体積を $V(x)$ とします．すると求める体積は

\[V(b)-V(a)\]

です．

　$x$ が微小量 $\Delta x(>0)$ だけ変化したときの体積の変化量 $V(x+\Delta x)-V(x)$ は，$x$ から $x+\Delta x$ までの $f(x)$ の最大値，最小値をそれぞれ $M,\ m$ とすれば \[\begin{align*} \pi (x+\Delta x)^2m-&\pi x^2m\\[5pt] &\leqq V(x+\Delta x)-V(x)\\[5pt] &\hspace{20mm}\leqq \pi(x+\Delta x)^2M-\pi x^2M \end{align*}\] と評価できます．左辺と右辺を計算して， \[\begin{align*} 2\pi xm\Delta x+&\pi m(\Delta x)^2\\[5pt] &\leqq V(x+\Delta x)-V(x)\\[5pt] &\hspace{20mm}\leqq 2\pi xM\Delta x+\pi M(\Delta x)^2. \end{align*}\] 　各辺を正の数 $\Delta x$ で割って， \[\begin{align*} 2\pi xm+&\pi m\Delta x\\[5pt] &\leqq \frac{V(x+\Delta x)-V(x)}{\Delta x}\\[5pt] &\hspace{20mm}\leqq 2\pi xM+\pi M\Delta x. \end{align*}\] 　ここで，$\Delta x\to +0$ のとき，$M\to f(x),\ m\to f(x)$ となりますから，はさみうちの原理より中辺は， \[\lim_{\Delta x\to+0}\frac{V(x+\Delta x)-V(x)}{\Delta x}=2\pi xf(x)\] です．$\Delta x < 0$のときも同様にして$\Delta x\to -0$ の極限を考えると， \[\lim_{\Delta x\to-0}\frac{V(x+\Delta x)-V(x)}{\Delta x}=2\pi xf(x)\] となりますから，結局 \[\lim_{\Delta x\to 0}\frac{V(x+\Delta x)-V(x)}{\Delta x}=2\pi xf(x)\] となります．ところで，左辺の $\displaystyle\lim_{\Delta x\to 0}\frac{V(x+\Delta x)-V(x)}{\Delta x}$ は，$V'(x)$ の定義式に他なりませんから， \[V'(x)=2\pi xf(x)\] です．つまり，$V(x)$ の導関数が $2\pi xf(x)$ なのですから $V(x)$ は $2\pi xf(x)$ の不定積分の1つであるということがわかりました．よって求める体積は， \[\begin{align*} V(b)-V(a)&=\Bigl[V(x)\Bigr]_a^b\\ &=\int_a^b\!V'(x)\,dx\\ &=\int_a^b\!2\pi xf(x)\,dx \end{align*}\] となるのです．

■

補足

　円筒形を，縦に切り込みを入れて展開すると，$\Delta x$ が十分小さいとき，概略直方体になります：

　この直方体の体積は \[2\pi xf(x)\,\Delta x\] です．円筒形の体積を直方体の体積で近似して，足し上げていったものがバウムクーヘン分割の式といえます．

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1. ファクシミリの原理	[無料]
2. バウムクーヘン分割	[無料]
3. 円と放物線
4. 垂線の長さ
5. 不定方程式
6. 関数の連続性は導関数に遺伝するか
7. 極方程式における $r$ の正負について
8. 極座標表示における扇形分割積分
9. 素因数分解の一意性
10. 三角関数の不定積分
11. シュワルツの不等式
12. 放物線と2接線で囲まれた部分の面積
13. 整式の除法(発展編)
14. 3次関数のグラフの特徴
15. 曲線の長さを求める公式の証明について