高校数学[総目次]
高校数学ワンポイント
バウムクーヘン分割
$x$ 軸まわりの回転体の体積は，$x$ 軸に垂直な平面での切り口の面積が大抵の場合簡単に表示できますが，$y$ 軸まわりの回転体の体積を計算しようと思うと，$y$ 軸に垂直な平面での切り口の面積が簡単には表せない場合があり，$x$ 軸まわりの回転体の計算に比べてぐっと難易度が上がります．
その抜け道的な存在がバウムクーヘン分割と呼ばれる積分方法です．
この用語は「大学への数学」でおなじみの東京出版の書物で用いられていましたが，今や大手の参考書などにも用語として掲載されるほど一般的な考え方になってきました．
以下のノートではバウムクーヘン分割の概要とその証明，イメージ図を掲載していますが，スライド では例題を用いて教科書的な解法と，バウムクーヘン分割を用いた解法の両方を説明しています．スライドの最後には，教科書的な説明からバウムクーヘン分割にもっていく考え方も説明していますので是非ご覧ください．
バウムクーヘン分割
図の斜線部分を $y$ 軸のまわりに1回転させてできる立体の体積は，
\[\int_a^b\!2\pi xf(x)\,dx\]
証明
図の斜線部分を $y$ 軸のまわりに1回転させてできる立体の体積を $V(x)$ とします．すると求める体積は
\[V(b)-V(a)\]
です．
$x$ が微小量 $\Delta x(>0)$ だけ変化したときの体積の変化量 $V(x+\Delta x)-V(x)$ は，$x$ から $x+\Delta x$ までの $f(x)$ の最大値，最小値をそれぞれ $M,\ m$ とすれば
\[\begin{align*}
\pi (x+\Delta x)^2m-&\pi x^2m\\[5pt]
&\leqq V(x+\Delta x)-V(x)\\[5pt]
&\hspace{20mm}\leqq \pi(x+\Delta x)^2M-\pi x^2M
\end{align*}\]
と評価できます．例えばこの式の左辺は，$\pi(x+\Delta x)^2 m$ が，半径 $x+\Delta x$，高さ $m$ の円柱の体積であり，$\pi x^2 m$ が，半径 $x$，高さ $m$ の円柱の体積なので，引き算すると，円柱の中がくり抜かれた円筒形の体積を表しているという訳です．
スライドでは図解していますので，イメージしにくい方はスライド をご覧ください。
