高校数学[総目次]
高校数学ワンポイント
11．コーシー・シュワルツの不等式
1．コーシー・シュワルツの不等式(ベクトル形)
有名不等式として真っ先に思いつくのは，相加・相乗平均の関係式 でしょうが，次に挙げるコーシー・シュワルツの不等式も，名前こそ教科書には出てこないものの，この不等式が背後にあるといった問題は時折見かけます．また，単にシュワルツの不等式と呼ばれることも多いです．
空間内の2つのベクトル $\overrightarrow{\mathstrut a},\overrightarrow{\mathstrut b}$ のなす角を $\theta$ とすると，
\[\overrightarrow{\mathstrut a}\cdot\overrightarrow{\mathstrut b}=|\overrightarrow{\mathstrut a}|\,|\overrightarrow{\mathstrut b}|\cos\theta\]
ですが，$-1\leqq\cos\theta\leqq1$ ですから
\[-|\overrightarrow{\mathstrut a}|\,|\overrightarrow{\mathstrut b}|\leqq\overrightarrow{\mathstrut a}\cdot\overrightarrow{\mathstrut b}\leqq|\overrightarrow{\mathstrut a}|\,|\overrightarrow{\mathstrut b}|\]
即ち
\[(0\leqq)\ |\overrightarrow{\mathstrut a}\cdot\overrightarrow{\mathstrut b}|\leqq|\overrightarrow{\mathstrut a}|\,|\overrightarrow{\mathstrut b}|\]
となります．従って
\[|\overrightarrow{\mathstrut a}\cdot\overrightarrow{\mathstrut b}|^2\leqq|\overrightarrow{\mathstrut a}|^2\,|\overrightarrow{\mathstrut b}|^2\]
が成り立ちます．$\overrightarrow{\mathstrut a}=(a_1,a_2,a_3)$，$\overrightarrow{\mathstrut b}=(b_1,b_2,b_3)$ として，両辺を成分で表せば，次のコーシー・シュワルツの不等式が得られます：
コーシー・シュワルツの不等式
$a_1,a_2,a_3,b_1,b_2,b_3$ を実数とするとき，
\[(a_1b_1\!+\!a_2b_2\!+\!a_3b_3)^2\!\leqq\!({a_1}^2\!+\!{a_2}^2\!+\!{a_3}^2)({b_1}^2\!+\!{b_2}^2\!+\!{b_3}^2)\]
が成り立つ．
等号成立は，$a_1=a_2=a_3=0$，または $b_1=b_2=b_3=0$，または
\[\frac{b_1}{a_1}=\frac{b_2}{a_2}=\frac{b_3}{a_3}\]
が成り立つときで，分母，分子の一方が0のとき，他方も0となる．
等号が成立するのは $a_1=a_2=a_3=0$，または $b_1=b_2=b_3=0$ のときは当然として，それ以外の場合は $|\overrightarrow{\mathstrut a}\cdot\overrightarrow{\mathstrut b}|=|\overrightarrow{\mathstrut a}|\,|\overrightarrow{\mathstrut b}|$ が成り立つ場合です．内積の定義に立ち返ると $|\cos\theta|=1$ となるときで，それは $\theta=0^\circ$ か $180^\circ$ のときです．このとき2つのベクトル $\overrightarrow{\mathstrut a},\overrightarrow{\mathstrut b}$ は平行ですから，$\overrightarrow{\mathstrut b}=k\overrightarrow{\mathstrut a}$ となる実数 $k$ が存在し，成分で書き表すと，
\[(b_1,b_2,b_3)=k(a_1,a_2,a_3)\]
従って
\[b_1=ka_1,\ b_2=ka_2,\ b_3=ka_3\ \ \cdots\mbox{①}\]
です．$a_1,a_2,a_3$ がいずれも0でなければ
\[\frac{b_1}{a_1}=k,\ \frac{b_1}{a_1}=k,\ \frac{b_1}{a_1}=k\]
となって
\[\frac{b_1}{a_1}=\frac{b_2}{a_2}=\frac{b_3}{a_3}\]
を得ます．どれか1つの成分が0であれば，対応する成分も0でなければならないことは，①を見れば理解できます．
補足
実はこの不等式は
\[\begin{align*} (a_1b_1+&a_2b_2+\cdots+a_nb_n)^2\\[5pt] &\leqq({a_1}^2+{a_2}^2+\cdots+{a_n}^2)({b_1}^2+{b_2}^2+\cdots+{b_n}^2) \end{align*}\]
というように任意の自然数 $n$ でも成り立ちます．
例題 $x+2y+3z=4$ のとき，$x^2+y^2+z^2$ の最小値を求めよ．
解答例を見る
いろいろな解法が考えられますが，コーシー・シュワルツの不等式を使ってみます．
$\overrightarrow{\mathstrut a}=(1,2,3)$，$\overrightarrow{\mathstrut b}=(x,y,z)$ として，
\[\begin{align*}
\overrightarrow{\mathstrut a}\cdot\overrightarrow{\mathstrut b}&=x+2y+3z\\[5pt]
|\overrightarrow{\mathstrut a}|^2&=1^2+2^2+3^2\\[5pt]
|\overrightarrow{\mathstrut b}|^2&=x^2+y^2+z^2
\end{align*}\]
となりますから，コーシー・シュワルツの不等式により
\[(x+2y+3z)^2\leqq(1^2+2^2+3^2)(x^2+y^2+z^2)\]
\[\therefore 4^2\leqq 14(x^2+y^2+z^2)\]
\[\therefore x^2+y^2+z^2\geqq\frac{16}{14}=\frac87\]
等号が成立するのは，
$\dfrac x1=\dfrac y2=\dfrac z3$ かつ $x+2y+3z=4$
即ち $x=\dfrac27,\ y=\dfrac47,\ z=\dfrac67$ のときです．
従って $\boldsymbol{x=\dfrac27,\ y=\dfrac47,\ z=\dfrac67}$ のとき，最小値 $\boldsymbol{\dfrac27}$ をとることがわかります．
2．コーシー・シュワルツの不等式(積分形)
まず次の例題をご覧ください．
例題 $p,q$ を定数とするとき，次の不等式を証明せよ．
\[\left(\int_0^1\!\!(x\!+\!p)(x\!+\!q)dx\right)^2\!\leqq\!\int_0^1\!\!(x\!+\!p)^2dx\int_0^1\!\!(x\!+\!q)^2dx\]
これを単なる計算問題とみれば，次のように証明されます：