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高校数学ノート[総目次]

数学Ⅲ 第3章 積分法

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1.不定積分 無料           【ノート
2.置換積分法(不定積分) 無料    【ノート
3.部分積分法(不定積分) 無料    【ノート
4.定積分とその性質          【ノート
5.置換積分法(定積分)        【ノート
6.部分積分法(定積分)        【ノート
7.定積分と微分法           【ノート
8.定積分と和の極限          【ノート
9.定積分と不等式           【ノート
10. 定積分の応用(面積)       【ノート
11. 定積分の応用(体積)       【ノート
12. 定積分の応用(回転体の体積)   【ノート
※【ノート】はスライドの内容をまとめたものです.

9.定積分と不等式

9.1 定積分と不等式

定理  閉区間 $[a,b]$ で連続な関数 $f(x)$ が,この区間で常に $f(x)\geqq0$ ならば, \[\int_a^b\!\!f(x)\,dx\geqq0\] が成り立つ.等号成立は,$[a,b]$ で常に $f(x)=0$ のとき.

証明

 $\displaystyle{F(x)=\int_a^x\!\!f(t)dt}$ とする.$F(b)\geqq 0$ を示せばよい. \[F'(x)=\frac d{dx}\int_a^x\!\!f(t)dt=f(x)\geqq 0\ \ (\because \mbox{仮定})\] であるから,$F(x)$ は $a\leqq x\leqq b$ で単調に増加する関数である.よって, \[F(x)\geqq F(a)\left(=\int_a^a\!\!f(t)dt\right)=0\] により, $F(x)$ は $a\leqq x\leqq b$ で常に非負となり,従って $F(b)\geqq 0$. また,等号が成立するとき,すなわち $\displaystyle{\int_a^b\!f(x)dx=F(b)=0}$ が成り立つときは,$F(x)$ の単調増加性により \[0=F(a)\leqq F(x)\leqq F(b)=0\]となるから,$F(x)$ は $a\leqq x\leqq b$ で常に0. 故に $f(x)=F'(x)=(0)’=0$.

 閉区間 $[a,b]$ で連続な関数 $f(x)$ が,この区間で常に $f(x)\geqq 0$,かつ $\displaystyle{\int_a^b\!f(x)dx= 0}$ ならば,この区間で常に $f(x)=0$.

証明

 上の定理の証明における等号成立時の議論により明らか.

 上の定理から,直ちに次が成り立つ:

定理  閉区間 $[a,b]$ で連続な関数 $f(x)$ が,この区間で常に $f(x)\geqq g(x)$ ならば, \[\int_a^b\!\!f(x)\,dx\geqq\int_a^b\!\!g(x)\,dx\] が成り立つ.等号成立は,$[a,b]$ で常に $f(x)=g(x)$ のとき.

証明

 $F(x)=f(x)-g(x)$ とおくと,区間 $[a,b]$ で常に $F(x)\geqq0$.従って, \[\int_a^b\!\!F(x)\,dx=\int_a^b\!\!\{f(x)-g(x)\}dx\geqq0\] \[\therefore \int_a^b\!\!f(x)\,dx-\int_a^b\!\!g(x)\,dx\geqq0\] \[\therefore \int_a^b\!\!f(x)\,dx\geqq\int_a^b\!\!g(x)\,dx\]

例題1 次を示せ. \[\frac\pi4 < \int_0^1\!\!\frac{dx}{1+x^3} < 1\]

証明
 閉区間 $[0,1]$ において,常に \[1 \leqq 1+x^3\leqq 1+x^2 \] であるから, \[\frac1{1+x^2}\leqq\frac1{1+x^3}\leqq 1\]  各辺を0から1まで積分して, \[\int_0^1\!\!\frac{dx}{1+x^2} < \int_0^1\!\!\frac{dx}{1+x^3} < \int_0^1\!\!dx\] \[\therefore \frac\pi4 <\int_0^1\!\!\frac{dx}{1+x^3} < 1\]

例題2 次を示せ. \[1+\frac12+\frac13+\cdots+\frac1n < 1+\log n\]

証明
 $\dfrac1x$ は $x\to0$ で発散するため,次の不等式では積分が計算できない: \[1+\dfrac12+\dfrac13+\cdots+\dfrac1n < \int_0^n\!\!\frac{dx}x\]  正しくは最初の「1」を特別扱いにして,次のようにする: \[\begin{align*} 1+\dfrac12+\dfrac13+\cdots+\dfrac1n& < 1+\int_1^n\!\!\frac{dx}x\\ &=1+\Bigl[\log x\Bigr]_1^n\\ &=1+\log n \end{align*}\]

定理 \[ \int_a^b\!\!|f(x)|dx\geqq \left|\int_a^b\!\!f(x)dx\right| \](等号成立は,閉区間 $[a,\ b]$ で $f(x)$ が定符号のとき)

例題 次を示せ. \[ \left|\int_{n\pi}^{(n+1)\pi}\!\!\frac{\sin x}{x^2}dx\right|< \frac 1\pi\left(\frac 1n-\frac 1{n+1}\right)\ \ (n=1,\ 2,\ \cdots) \]

証明 \[\begin{align*} \mbox{左辺}&\leqq\int_{n\pi}^{(n+1)\pi}\left|\frac{\sin x}{x^2}\right|dx\\ &<\int_{n\pi}^{(n+1)\pi}\!\!\frac{dx}{x^2}\\ &=\left[-\frac1x\right]_{n\pi}^{(n+1)\pi}\\ &=-\frac1{(n+1)\pi}+\frac1{n\pi}\\ &=\mbox{右辺} \end{align*}\]


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