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定理  閉区間$[a,b]$で連続な関数$f(x)$が,この区間で常に$f(x)\geqq0$ならば, \[\int_a^b\!\!f(x)\,dx\geqq0\] が成り立つ.等号成立は$[a,b]$で常に$f(x)=0$のとき.

証明

 $\displaystyle{F(x)=\int_a^x\!\!f(t)dt}$とする.$F(b)\geqq 0$を示せばよい. \[F'(x)=\frac d{dx}\int_a^x\!\!f(t)dt=f(x)\geqq 0\ \ (\because \mbox{仮定})\] であるから,$F(x)$ は $a\leqq x\leqq b$ で単調に増加する関数である.よって, \[F(x)\geqq F(a)\left(=\int_a^a\!\!f(t)dt\right)=0\] により, $F(x)$ は $a\leqq x\leqq b$ で常に非負となり,従って $F(b)\geqq 0$. また,等号が成立するとき,すなわち $\displaystyle{\int_a^b\!f(x)dx=F(b)=0}$ が成り立つときは,$F(x)$ の単調増加性により \[0=F(a)\leqq F(x)\leqq F(b)=0\]となるから,$F(x)$ は $a\leqq x\leqq b$ で常に0. 故に $f(x)=F'(x)=(0)’=0$.

 閉区間$[a,b]$で連続な関数$f(x)$が,この区間で常に$f(x)\geqq0$,かつ $\displaystyle{\int_a^b\!f(x)dx= 0}$ ならば,この区間で常に $f(x)=0$.

証明

 上の定理の証明における等号成立時の議論により明らか.

 上の定理から,直ちに次が成り立つ:

定理  閉区間$[a,b]$で連続な関数$f(x)$が,この区間で常に$f(x)\geqq g(x)$ならば, \[\int_a^b\!\!f(x)\,dx\geqq\int_a^b\!\!g(x)\,dx\] が成り立つ.等号成立は$[a,b]$で常に$f(x)=g(x)$のとき.

証明

 $F(x)=f(x)-g(x)$とおくと,区間$[a,b]$で常に$F(x)\geqq0$.従って, \[\int_a^b\!\!F(x)\,dx=\int_a^b\!\!\{f(x)-g(x)\}dx\geqq0\] \[\therefore \int_a^b\!\!f(x)\,dx-\int_a^b\!\!g(x)\,dx\geqq0\] \[\therefore \int_a^b\!\!f(x)\,dx\geqq\int_a^b\!\!g(x)\,dx\]

例1

 次を示せ. \[\frac\pi4<\int_0^1\!\!\frac{dx}{1+x^3}<1\]

証明
 閉区間$[0,1]$において,常に \[1 \leqq 1+x^3\leqq 1+x^2 \] であるから, \[\frac1{1+x^2}\leqq\frac1{1+x^3}\leqq 1\]  各辺を0から1まで積分して, \[\int_0^1\!\!\frac{dx}{1+x^2}<\int_0^1\!\!\frac{dx}{1+x^3}<\int_0^1\!\!dx\] \[\therefore \frac\pi4<\int_0^1\!\!\frac{dx}{1+x^3}<1\]

例2

 次を示せ. \[1+\frac12+\frac13+\cdots+\frac1n<1+\log n\]

証明
 $\dfrac1x$は$x\to0$で発散するため,次の不等式では積分が計算できない: \[1+\dfrac12+\dfrac13+\cdots+\dfrac1n<\int_0^n\!\!\frac{dx}x\]  正しくは最初の「1」を特別扱いにして,次のようにする: \[\begin{align*} 1+\dfrac12+\dfrac13+\cdots+\dfrac1n&<1+\int_1^n\!\!\frac{dx}x\\ &=1+\Bigl[\log x\Bigr]_1^n\\ &=1+\log n \end{align*}\]

定理 \[ \int_a^b\!\!|f(x)|dx\geqq \left|\int_a^b\!\!f(x)dx\right| \](等号成立は閉区間$[a,\ b]$で$f(x)$が定符号のとき)

 次を示せ. \[ \left|\int_{n\pi}^{(n+1)\pi}\!\!\frac{\sin x}{x^2}dx\right|< \frac 1\pi\left(\frac 1n-\frac 1{n+1}\right)\ \ (n=1,\ 2,\ \cdots) \]

証明 \[\begin{align*} \mbox{左辺}&\leqq\int_{n\pi}^{(n+1)\pi}\left|\frac{\sin x}{x^2}\right|dx\\ &<\int_{n\pi}^{(n+1)\pi}\!\!\frac{dx}{x^2}\\ &=\left[-\frac1x\right]_{n\pi}^{(n+1)\pi}\\ &=-\frac1{(n+1)\pi}+\frac1{n\pi}=\mbox{右辺} \end{align*}\]