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高校数学[総目次]

数学Ⅲ 第3章 積分法

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2. 置換積分法(不定積分) [無料]  
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10. 定積分の応用(面積) [会員]  
11. 定積分の応用(体積) [会員]  
12. 定積分の応用(回転体の体積) [会員]  
13. 曲線の長さ    

9.定積分と不等式

9.1 定積分と不等式

定理  閉区間 $[a,b]$ で連続な関数 $f(x)$ が,この区間で常に $f(x)\geqq0$ ならば, \[\int_a^b\!\!f(x)\,dx\geqq0\] が成り立つ.等号成立は,$[a,b]$ で常に $f(x)=0$ のとき.

証明

 $\displaystyle{F(x)=\int_a^x\!\!f(t)dt}$ とする.$F(b)\geqq 0$ を示せばよい. \[F'(x)=\frac d{dx}\int_a^x\!\!f(t)dt=f(x)\geqq 0\ \ (\because \mbox{仮定})\] であるから,$F(x)$ は $a\leqq x\leqq b$ で単調に増加する関数である.よって, \[F(x)\geqq F(a)\left(=\int_a^a\!\!f(t)dt\right)=0\] により, $F(x)$ は $a\leqq x\leqq b$ で常に非負となり,従って $F(b)\geqq 0$. また,等号が成立するとき,すなわち $\displaystyle{\int_a^b\!f(x)dx=F(b)=0}$ が成り立つときは,$F(x)$ の単調増加性により \[0=F(a)\leqq F(x)\leqq F(b)=0\]となるから,$F(x)$ は $a\leqq x\leqq b$ で常に0. 故に $f(x)=F'(x)=(0)’=0$.

 閉区間 $[a,b]$ で連続な関数 $f(x)$ が,この区間で常に $f(x)\geqq 0$,かつ $\displaystyle{\int_a^b\!f(x)dx= 0}$ ならば,この区間で常に $f(x)=0$.

証明

 上の定理の証明における等号成立時の議論により明らか.

 上の定理から,直ちに次が成り立つ:

定理  閉区間 $[a,b]$ で連続な関数 $f(x)$ が,この区間で常に $f(x)\geqq g(x)$ ならば, \[\int_a^b\!\!f(x)\,dx\geqq\int_a^b\!\!g(x)\,dx\] が成り立つ.等号成立は,$[a,b]$ で常に $f(x)=g(x)$ のとき.

証明

 $F(x)=f(x)-g(x)$ とおくと,区間 $[a,b]$ で常に $F(x)\geqq0$.従って, \[\int_a^b\!\!F(x)\,dx=\int_a^b\!\!\{f(x)-g(x)\}dx\geqq0\] \[\therefore \int_a^b\!\!f(x)\,dx-\int_a^b\!\!g(x)\,dx\geqq0\] \[\therefore \int_a^b\!\!f(x)\,dx\geqq\int_a^b\!\!g(x)\,dx\]

例題1 次を示せ. \[\frac\pi4 < \int_0^1\!\!\frac{dx}{1+x^3} < 1\]

こたえ

 解答例を表示する

例題2 $n$ を2以上の自然数とするとき,次を示せ. \[1+\frac12+\frac13+\cdots+\frac1n < 1+\log n\]

こたえ

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別解

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定理 \[ \int_a^b\!\!|f(x)|dx\geqq \left|\int_a^b\!\!f(x)dx\right| \](等号成立は,閉区間 $[a,\ b]$ で $f(x)$ が定符号のとき)

例題 次を示せ. \[ \left|\int_{n\pi}^{(n+1)\pi}\!\!\frac{\sin x}{x^2}dx\right|< \frac 1\pi\left(\frac 1n-\frac 1{n+1}\right)\ \ (n=1,\ 2,\ \cdots) \]

こたえ

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