このページにある内容は,こちらのスライド(会員向け)でわかり易く説明しています.
高校数学[総目次]
数学Ⅲ 第3章 積分法
スライド | ノート | |
1. 不定積分 | [無料] | |
2. 置換積分法(不定積分) | [無料] | |
3. 部分積分法(不定積分) | [無料] | |
4. 定積分とその性質 | [会員] | |
5. 置換積分法(定積分) | [会員] | |
6. 部分積分法(定積分) | [会員] | |
7. 定積分と微分法 | [会員] | |
8. 定積分と和の極限 | [会員] | |
9. 定積分と不等式 | [会員] | |
10. 定積分の応用(面積) | [会員] | |
11. 定積分の応用(体積) | [会員] | |
12. 定積分の応用(回転体の体積) | [会員] | |
13. 曲線の長さ |
9.定積分と不等式
9.1 定積分と不等式
定理 閉区間 $[a,b]$ で連続な関数 $f(x)$ が,この区間で常に $f(x)\geqq0$ ならば, \[\int_a^b\!\!f(x)\,dx\geqq0\] が成り立つ.等号成立は,$[a,b]$ で常に $f(x)=0$ のとき.
証明
$\displaystyle{F(x)=\int_a^x\!\!f(t)dt}$ とする.$F(b)\geqq 0$ を示せばよい. \[F'(x)=\frac d{dx}\int_a^x\!\!f(t)dt=f(x)\geqq 0\ \ (\because \mbox{仮定})\] であるから,$F(x)$ は $a\leqq x\leqq b$ で単調に増加する関数である.よって, \[F(x)\geqq F(a)\left(=\int_a^a\!\!f(t)dt\right)=0\] により, $F(x)$ は $a\leqq x\leqq b$ で常に非負となり,従って $F(b)\geqq 0$. また,等号が成立するとき,すなわち $\displaystyle{\int_a^b\!f(x)dx=F(b)=0}$ が成り立つときは,$F(x)$ の単調増加性により \[0=F(a)\leqq F(x)\leqq F(b)=0\]となるから,$F(x)$ は $a\leqq x\leqq b$ で常に0. 故に $f(x)=F'(x)=(0)’=0$.
■
系 閉区間 $[a,b]$ で連続な関数 $f(x)$ が,この区間で常に $f(x)\geqq 0$,かつ $\displaystyle{\int_a^b\!f(x)dx= 0}$ ならば,この区間で常に $f(x)=0$.
証明
上の定理の証明における等号成立時の議論により明らか.
■
上の定理から,直ちに次が成り立つ:
定理 閉区間 $[a,b]$ で連続な関数 $f(x)$ が,この区間で常に $f(x)\geqq g(x)$ ならば, \[\int_a^b\!\!f(x)\,dx\geqq\int_a^b\!\!g(x)\,dx\] が成り立つ.等号成立は,$[a,b]$ で常に $f(x)=g(x)$ のとき.
証明
$F(x)=f(x)-g(x)$ とおくと,区間 $[a,b]$ で常に $F(x)\geqq0$.従って, \[\int_a^b\!\!F(x)\,dx=\int_a^b\!\!\{f(x)-g(x)\}dx\geqq0\] \[\therefore \int_a^b\!\!f(x)\,dx-\int_a^b\!\!g(x)\,dx\geqq0\] \[\therefore \int_a^b\!\!f(x)\,dx\geqq\int_a^b\!\!g(x)\,dx\]
■
例題1 次を示せ. \[\frac\pi4 < \int_0^1\!\!\frac{dx}{1+x^3} < 1\]
こたえ
解答例を表示する例題2 $n$ を2以上の自然数とするとき,次を示せ. \[1+\frac12+\frac13+\cdots+\frac1n < 1+\log n\]
こたえ
解答例を表示する別解
解答例を表示する定理 \[ \int_a^b\!\!|f(x)|dx\geqq \left|\int_a^b\!\!f(x)dx\right| \](等号成立は,閉区間 $[a,\ b]$ で $f(x)$ が定符号のとき)
例題 次を示せ. \[ \left|\int_{n\pi}^{(n+1)\pi}\!\!\frac{\sin x}{x^2}dx\right|< \frac 1\pi\left(\frac 1n-\frac 1{n+1}\right)\ \ (n=1,\ 2,\ \cdots) \]
こたえ
解答例を表示する このページで疑問は解決されましたか?
こちら から数学に関するご質問・ご要望をお寄せください。
高校数学[総目次]
数学Ⅲ 第3章 積分法
スライド | ノート | |
1. 不定積分 | [無料] | |
2. 置換積分法(不定積分) | [無料] | |
3. 部分積分法(不定積分) | [無料] | |
4. 定積分とその性質 | [会員] | |
5. 置換積分法(定積分) | [会員] | |
6. 部分積分法(定積分) | [会員] | |
7. 定積分と微分法 | [会員] | |
8. 定積分と和の極限 | [会員] | |
9. 定積分と不等式 | [会員] | |
10. 定積分の応用(面積) | [会員] | |
11. 定積分の応用(体積) | [会員] | |
12. 定積分の応用(回転体の体積) | [会員] | |
13. 曲線の長さ |