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2.1 $\displaystyle\int\!f(ax+b)dx$の計算

 $F(x)$を$f(x)$の不定積分の1つとする.$\bigl(F'(x)=f(x)\bigr)$
 このとき, \[\{F(ax+b)\}’=F'(ax+b)\cdot a=af(ax+b)\] \[\therefore f(ax+b)=\left\{\frac1aF(ax+b)\right\}’\]  よって,$\dfrac1aF(ax+b)$は$f(ax+b)$の不定積分であるから次が成り立つ:

\[ \int\!f(ax+b)dx=\frac1aF(ax+b)+C\ \cdots(*)\]

補足

 $ax+b=u$とおくと,$(*)$は \[\int\!f(u)dx=\frac1{u’}F(u)+C\]

・$\displaystyle\int\!(ax+b)^kdx$

 $\left\{\begin{array}{l} f(u)=u^k\\ u=ax+b \end{array}\right.$とおくと, \[\begin{align*} \mbox{与式}&=\frac1{u’}\cdot F(u)+C\\ &=\frac1a\cdot\frac{u^{k+1}}{k+1}+C\\ &=\underline{\frac1{a(k+1)}(ax+b)^{k+1}+C} \end{align*}\]

\[\int\!(ax+b)^kdx=\frac1{a(k+1)}(ax+b)^{k+1}+C\]

・$\displaystyle\int\!\cos(2x+3)dx$

 $\left\{\begin{array}{l} f(u)=\cos u\\ u=2x+3 \end{array}\right.$とおくと, \[\begin{align*} \mbox{与式}&=\frac1{u’}\cdot F(u)+C\\ &=\frac12\sin u+C\\ &=\underline{\frac12\sin(2x+3)+C} \end{align*}\]

・$\displaystyle\int\!2e^{-3x+4}dx$

 $\left\{\begin{array}{l} f(u)=2e^u\\ u=-3x+4 \end{array}\right.$とおくと, \[\begin{align*} \mbox{与式}&=\frac1{u’}\cdot F(u)+C\\ &=\frac1{-3} 2e^u+C\\ &=\underline{-\frac23 e^{-3x+4}+C} \end{align*}\]

2.2 置換積分法

 次の不定積分を求めよ. \[y=\int\!\sqrt x\,dx\ \ \cdots\mbox{①}\]

やり方その1

\[y=\int\!x^{\frac12}dx=\frac23x^{\frac32}+C=\underline{\frac23x\sqrt x+C}\]

やり方その2

 $\sqrt x=t\ \cdots$② とおく.このとき \[x=t^2\ \therefore\dfrac{dx}{dt}=2t\ \cdots\mbox{③}\] である.合成関数の導関数により, \[\begin{align*} \frac{dy}{dt}&=\frac{dy}{dx}\cdot\frac{dx}{dt}\\ &=\sqrt x\cdot 2t\ \ \ (\because \mbox{①,③})\\ &=t\cdot 2t\ \ \ (\because \mbox{②}) \end{align*}\] \[\therefore \frac{dy}{dt}=t\cdot2t\]  これは「$y$を$t$で微分すると$t\cdot2t$になる」ことを意味するから, \[\begin{align*} y&=\int\!t\cdot2t\,dt\ \cdots\mbox{④}\\ &=\frac23t^3+C\\ &=\underline{\frac23x\sqrt x+C}\ \ \ (\because\mbox{②}) \end{align*}\]

 さて,①と④を比較してみよう.

\[\begin{align*} &y=\int\!\sqrt x\,dx\ \ \cdots\mbox{①}\\ &y=\int t\cdot2tdt\ \ \cdots\mbox{④} \end{align*}\]

 ④は①に②を代入し,③を形式的に(つまり$\dfrac{dy}{dt}$を分数とみなして)$dx=2tdt$と変形し,①に代入したものとなっている.

2.3 置換積分法の公式(Ⅰ)

 一般に$y=\displaystyle\int\!f(x)dx$において,$x$が微分可能な$t$の関数$g(t)$で$x=g(t)$と表されているとすると, \[\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dx}\cdot\frac{dx}{dt}=f(x)g'(t)=f(g(t))g'(t)\]  これは「$y$を$t$で微分すると$f(g(t))g'(t)$になる」ことを意味するから, \[y=\int\!f(g(t))g'(t)\,dt\]  一方,$y=\displaystyle\int\!f(x)dx$であったから次を得る:

置換積分法の公式(I) \[ \int \!\! f(x)dx=\int\!\! f\bigl(g(t)\bigr)g'(t)\,dt\ \ \ (\mbox{ただし,}x=g(t)\ )\]

注意

 上の例からわかるように,一般には$\sqrt x=t$ とおいたとき, \[\int\!\sqrt x\,dx=\int\!t\,dt\] にはならない.($g'(t)$が付け加わる.)

補足

① 上の例で$\sqrt x=t$とおいたように,実際には$x=g(t)$とおくよりも,$h(x)=t$ のようにすることが多い.
② 置換積分法の公式(Ⅰ)をみると, \[\begin{align*} y&=\int\!f(x)\ \underline{dx}\\ &=\int\!f(x)\,\underline{g'(t)dt} \end{align*}\] であり,$dx$が$g'(t)dt$ に置き換わっただけだが,これは$x=g(t)$の両辺を$t$で微分して$\dfrac{dx}{dt}=g'(t)$としたものを形式的に$dx=g'(t)dt$として代入したものとなっている.

2.4 置換積分法の公式(Ⅱ)

 置換積分法の公式(Ⅰ)において,左辺と右辺を入れ替え,更に $x$ と $t$ も入れ替えると,次の公式が得られる:

置換積分法の公式(II) \[ \int\!\! f\bigl( g(x) \bigr)g'(x)dx=\int\!\! f(t)dt\ \ \ (\mbox{ただし,}g(x)=t) \]

 (要は被積分関数が$f(g(x))g'(x)$の形になっていることをいかに見抜くかである.)

例1

\[\int\!\sin^2x\cos x\,dx=\int\!\sin^2x\cdot(\sin x)’\,dx\] ここで, $\left\{\begin{array}{l} f(t)=t^2\\ t=\sin x(\,=g(x)\,) \end{array}\right.$とみると, \[\begin{align*} \hspace{12mm}&=\int\!f(t)\,dt\\ &=\int\!t^2\,dt\\ &=\frac13t^3+C\\ &=\underline{\frac13\sin^3x+C} \end{align*}\]

例2

\[\int\!\frac{\log x}x dx=\int\!\log x\cdot(\log x)’\,dx\] ここで, $\left\{\begin{array}{l} f(t)=t\\ t=\log x(\,=g(x)\,) \end{array}\right.$とみると, \[\begin{align*} \hspace{12mm}&=\int\!f(t)\,dt\\ &=\int\!t\,dt\\ &=\frac12t^2+C\\ &=\underline{\frac12(\log x)^2+C} \end{align*}\]

2.5 $\displaystyle\int\!\frac{g'(x)}{g(x)}dx$の積分

 置換積分法の公式(Ⅱ)において,特に$f(t)=\dfrac1t$のときは, \[\begin{align*} \int\!\frac{g'(x)}{g(x)}dx&=\int\!\frac{dt}t\\ &=\log|t|+C\\ &=\log|g(x)|+C \end{align*}\] となるから,次を得る:

\[\int\!\frac{g'(x)}{g(x)}dx=\log|g(x)|+C\]
例1

\[\begin{align*} \int\!\frac{2x+1}{x^2+x+1}dx&=\frac{(x^2+x+1)’}{x^2+x+1}dx\\ &=\log|x^2+x+1|+C\\ &=\underline{\log(x^2+x+1)+C} \end{align*}\] \[\left(\because x^2+x+1=\left(x+\frac12\right)^2+\frac34>0\right)\]

例2

\[\begin{align*} \int\!\tan x\,dx&=\frac{\sin x}{\cos x}dx\\ &=-\int\!\frac{(\cos x)’}{\cos x}dx\\ &=\underline{-\log|\cos x|+C} \end{align*}\]

補足

 三角関数の不定積分が出揃ったので,まとめると次のようになる:

三角関数の不定積分 \[\begin{align*} \int\!\sin x\,dx&=-\cos x+C\\ \int\!\cos x\,dx&=\sin x+C\\ \int\!\tan x\,dx&=-\log|\cos x| +C\\ \end{align*}\]