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高校数学ノート[総目次]

数学Ⅲ 第3章 積分法

スライド↓        ノート↓
1.不定積分 無料           【ノート
2.置換積分法(不定積分) 無料    【ノート
3.部分積分法(不定積分) 無料    【ノート
4.定積分とその性質          【ノート
5.置換積分法(定積分)        【ノート
6.部分積分法(定積分)        【ノート
7.定積分と微分法           【ノート
8.定積分と和の極限          【ノート
9.定積分と不等式           【ノート
10. 定積分の応用(面積)       【ノート
11. 定積分の応用(体積)       【ノート
12. 定積分の応用(回転体の体積)   【ノート
※【ノート】はスライドの内容をまとめたものです.

2.置換積分法(不定積分)

2.1 $\displaystyle\int\!f(ax+b)dx$ の計算

 $F(x)$ を関数 $f(x)$ の不定積分の1つとする.$\bigl(F'(x)=f(x)\bigr)$
 このとき, \[\{F(ax+b)\}’=F'(ax+b)\cdot a=af(ax+b)\] \[\therefore f(ax+b)=\left\{\frac1aF(ax+b)\right\}’\]  よって,$\dfrac1aF(ax+b)$ は $f(ax+b)$ の不定積分であるから次が成り立つ:

\[ \int\!f(ax+b)dx=\frac1aF(ax+b)+C\ \cdots(*)\]

補足

 $ax+b=u$ とおくと,$(*)$ は \[\int\!f(u)dx=\frac1{u’}F(u)+C\]

・$\displaystyle\int\!(ax+b)^kdx$

 $\left\{\begin{array}{l} f(u)=u^k\\ u=ax+b \end{array}\right.$ とおくと, \[\begin{align*} \mbox{与式}&=\frac1{u’}\cdot F(u)+C\\ &=\frac1a\cdot\frac{u^{k+1}}{k+1}+C\\ &=\underline{\frac1{a(k+1)}(ax+b)^{k+1}+C} \end{align*}\]

\[\int\!(ax+b)^kdx=\frac1{a(k+1)}(ax+b)^{k+1}+C\]

・$\displaystyle\int\!\cos(2x+3)dx$

 $\left\{\begin{array}{l} f(u)=\cos u\\ u=2x+3 \end{array}\right.$ とおくと, \[\begin{align*} \mbox{与式}&=\frac1{u’}\cdot F(u)+C\\ &=\frac12\sin u+C\\ &=\underline{\frac12\sin(2x+3)+C} \end{align*}\]

・$\displaystyle\int\!2e^{-3x+4}dx$

 $\left\{\begin{array}{l} f(u)=2e^u\\ u=-3x+4 \end{array}\right.$とおくと, \[\begin{align*} \mbox{与式}&=\frac1{u’}\cdot F(u)+C\\ &=\frac1{-3} 2e^u+C\\ &=\underline{-\frac23 e^{-3x+4}+C} \end{align*}\]

2.2 置換積分法

 次の不定積分を求めよ. \[y=\int\!\sqrt x\,dx\ \ \cdots\mbox{①}\]

やり方その1

\[y=\int\!x^{\frac12}dx=\frac23x^{\frac32}+C=\underline{\frac23x\sqrt x+C}\]

やり方その2

 $\sqrt x=t\ \cdots$② とおく.このとき \[x=t^2\ \therefore\dfrac{dx}{dt}=2t\ \cdots\mbox{③}\] である.合成関数の導関数により, \[\begin{align*} \frac{dy}{dt}&=\frac{dy}{dx}\cdot\frac{dx}{dt}\\ &=\sqrt x\cdot 2t\ \ \ (\because \mbox{①,③})\\ &=t\cdot 2t\ \ \ (\because \mbox{②}) \end{align*}\] \[\therefore \frac{dy}{dt}=t\cdot2t\]  これは「$y$ を $t$ で微分すると $t\cdot2t$ になる」ことを意味するから, \[\begin{align*} y&=\int\!t\cdot2t\,dt\ \cdots\mbox{④}\\ &=\frac23t^3+C\\ &=\underline{\frac23x\sqrt x+C}\ \ \ (\because\mbox{②}) \end{align*}\]

 さて,①と④を比較してみよう.

\[\begin{align*} &y=\int\!\sqrt x\,dx\ \ \cdots\mbox{①}\\ &y=\int t\cdot2tdt\ \ \cdots\mbox{④} \end{align*}\]

 ④は①に②を代入し,③を形式的に(つまり $\dfrac{dy}{dt}$ を分数とみなして)$dx=2tdt$ と変形し,①に代入したものとなっている.

2.3 置換積分法の公式(Ⅰ)

 一般に $y=\displaystyle\int\!f(x)dx$ において,$x$ が微分可能な $t$ の関数 $g(t)$ で $x=g(t)$ と表されているとすると, \[\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dx}\cdot\frac{dx}{dt}=f(x)g'(t)=f(g(t))g'(t)\]  これは「$y$ を $t$ で微分すると $f(g(t))g'(t)$ になる」ことを意味するから, \[y=\int\!f(g(t))g'(t)\,dt\]  一方,$y=\displaystyle\int\!f(x)dx$ であったから次を得る:

置換積分法の公式(I) \[ \int \!\! f(x)dx=\int\!\! f\bigl(g(t)\bigr)g'(t)\,dt\ \ \ (\mbox{ただし,}x=g(t)\ )\]

注意

 上の例からわかるように,一般には $\sqrt x=t$ とおいたとき, \[\int\!\sqrt x\,dx=\int\!t\,dt\] にはならない.( $g'(t)$ が付け加わる.)

補足

① 上の例で $\sqrt x=t$ とおいたように,実際には $x=g(t)$ とおくよりも,$h(x)=t$ のようにすることが多い.
② 置換積分法の公式(Ⅰ)をみると, \[\begin{align*} y&=\int\!f(x)\ \underline{dx}\\ &=\int\!f(x)\,\underline{g'(t)dt} \end{align*}\] であり,$dx$ が $g'(t)dt$ に置き換わっただけだが,これは $x=g(t)$ の両辺を $t$ で微分して $\dfrac{dx}{dt}=g'(t)$ としたものを形式的に $dx=g'(t)dt$ として代入したものとなっている.

2.4 置換積分法の公式(Ⅱ)

 置換積分法の公式(Ⅰ)において,左辺と右辺を入れ替え,更に $x$ と $t$ も入れ替えると,次の公式が得られる:

置換積分法の公式(II) \[ \int\!\! f\bigl( g(x) \bigr)g'(x)dx=\int\!\! f(t)dt\ \ \ (\mbox{ただし,}g(x)=t) \]

 (要は被積分関数が $f(g(x))g'(x)$ の形になっていることをいかに見抜くかである.)

例1

\[\int\!\sin^2x\cos x\,dx=\int\!\sin^2x\cdot(\sin x)’\,dx\] ここで, $\left\{\begin{array}{l} f(t)=t^2\\ t=\sin x(\,=g(x)\,) \end{array}\right.$ とみると, \[\begin{align*} \hspace{12mm}&=\int\!f(t)\,dt\\ &=\int\!t^2\,dt\\ &=\frac13t^3+C\\ &=\underline{\frac13\sin^3x+C} \end{align*}\]

例2

\[\int\!\frac{\log x}x dx=\int\!\log x\cdot(\log x)’\,dx\] ここで, $\left\{\begin{array}{l} f(t)=t\\ t=\log x(\,=g(x)\,) \end{array}\right.$ とみると, \[\begin{align*} \hspace{12mm}&=\int\!f(t)\,dt\\ &=\int\!t\,dt\\ &=\frac12t^2+C\\ &=\underline{\frac12(\log x)^2+C} \end{align*}\]

2.5 $\displaystyle\int\!\frac{g'(x)}{g(x)}dx$ の積分

 置換積分法の公式(Ⅱ)において,特に $f(t)=\dfrac1t$ のときは, \[\begin{align*} \int\!\frac{g'(x)}{g(x)}dx&=\int\!\frac{dt}t\\ &=\log|t|+C\\ &=\log|g(x)|+C \end{align*}\] となるから,次を得る:

\[\int\!\frac{g'(x)}{g(x)}dx=\log|g(x)|+C\]
例1

\[\begin{align*} \int\!\frac{2x+1}{x^2+x+1}dx&=\frac{(x^2+x+1)’}{x^2+x+1}dx\\ &=\log|x^2+x+1|+C\\ &=\underline{\log(x^2+x+1)+C} \end{align*}\] \[\left(\because x^2+x+1=\left(x+\frac12\right)^2+\frac34>0\right)\]

例2

\[\begin{align*} \int\!\tan x\,dx&=\frac{\sin x}{\cos x}dx\\ &=-\int\!\frac{(\cos x)’}{\cos x}dx\\ &=\underline{-\log|\cos x|+C} \end{align*}\]

補足

 三角関数の不定積分が出揃ったので,まとめると次のようになる:

三角関数の不定積分 \[\begin{align*} \int\!\sin x\,dx&=-\cos x+C\\ \int\!\cos x\,dx&=\sin x+C\\ \int\!\tan x\,dx&=-\log|\cos x| +C\\ \end{align*}\]


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