高校数学[総目次]
数学Ⅲ 第3章 積分法
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1. 不定積分 | [無料] | |
2. 置換積分法(不定積分) | [無料] | |
3. 部分積分法(不定積分) | [無料] | |
4. 定積分とその性質 | [会員] | |
5. 置換積分法(定積分) | [会員] | |
6. 部分積分法(定積分) | [会員] | |
7. 定積分と微分法 | [会員] | |
8. 定積分と和の極限 | [会員] | |
9. 定積分と不等式 | [会員] | |
10. 定積分の応用(面積) | [会員] | |
11. 定積分の応用(体積) | [会員] | |
12. 定積分の応用(回転体の体積) | [会員] | |
13. 曲線の長さ |

5.置換積分法(定積分)
5.1 定積分の置換積分法
関数 $f(x)$ は区間 $[a,b]$ で連続,更に $x$ は微分可能な関数 $g(t)$ により $x=g(t)$ で表されているとする.そして,$t$ が $\alpha$ から $\beta$ まで変化したとき,$x$ は $a$ から $b$ まで変化したとする.

このとき,$f(x)$ の不定積分を $F(x)$ とすれば,置換積分法の公式(Ⅰ)により, \[\begin{align*} \int\!f(g(t))g'(t)\,dt&=\int\!f(x)\,dx\\[5pt] &=F(x)+C\\[5pt] &=F(g(t))+C \end{align*}\] であるから, \[\begin{align*} \int_\alpha^\beta\!\!f(g(t)g'(t)\,dt&=\Bigl[F(g(t))\Bigr]_\alpha^\beta\!\\[5pt] &=F(g(\beta))-F(g(\alpha))\\[5pt] &=F(b)-F(a)\\[5pt] &=\int_a^b\!\!f(x)dx \end{align*}\] となる.
定積分の置換積分法\[\int_a^b\!\!f(x)\,dx=\int_\alpha^\beta\!\!f(g(t))g'(t)\,dt \]
発展的補足
$x=g(t)$ の選び方についてはあまり神経質になる必要はないが,厳密には次のような点に注意して選ぶ.
- 積分区間で単調な関数を選ぶのが普通.
- 単調でない関数を選ぶ場合は次の3条件を満たせばよい:
- $a=g(\alpha),\ b=g(\beta)$ で,$t$ が $\alpha\to\beta$ と変化するとき, $x$ は連続的に $a\to b$ と変化する.
- 閉区間 $[\alpha,\ \beta]$ で $g'(t)$ は連続.
- 閉区間 $[\alpha,\ \beta]$ で $f(g(t))$ は連続.

重要例題3選
以下の3つの例題は基本的,かつ重要で,入試問題等にしばしば登場する.
例題1 $a>0$ のとき,$\displaystyle\int_0^a\!\!\sqrt{a^2-x^2}\,dx$ を計算せよ.
答
解答例を表示する例題2 $\displaystyle\int_0^a\!\!\frac1{a^2+x^2}\,dx$ を計算せよ.
答
解答例を表示する例題3(重要) 次を示せ. \[\int_0^a\!\!f(x)\,dx=\int_0^a\!\!f(a-x)\,dx\]
答
解答例を表示する
5.2 偶関数・奇関数の定積分
確認\begin{align*} &f(x)\mbox{は偶関数}\iff f(-x)=f(x)\\\\ &f(x)\mbox{は奇関数}\iff f(-x)=-f(x) \end{align*}
偶関数・奇関数の定積分\begin{align*} &f(x)\mbox{が偶関数}\Longrightarrow \int_{-a}^a\!\!f(x)dx=2\int_0^a\!\!f(x)dx\\\\ &f(x)\mbox{が奇関数}\Longrightarrow \int_{-a}^a\!\!f(x)dx=0 \end{align*}
証明
\[\int_{-a}^a\!\!f(x)\,dx=\int_{-a}^0\!\!f(x)\,dx+\int_0^a\!\!f(x)\,dx\ \ \cdots\mbox{①}\] ここで右辺第1項について,$x=-t$ とおくと \[dx=-dt,\ \ \begin{array}{c|ccc} x&-a&\to& 0\\\hline t&a&\to& 0 \end{array}\] であるから,
よって,$f(x)$ が偶関数のとき, \[\mbox{①}=\int_0^a\!\!f(x)\,dx+\int_0^a\!\!f(x)\,dx=2\int_0^a\!\!f(x)\,dx\] $f(x)$ が奇関数のとき, \[\mbox{①}=\int_0^a\!\!\{-f(x)\}\,dx+\int_0^a\!\!f(x)\,dx=0\]
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