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高校数学ノート[総目次]

数学Ⅲ 第3章 積分法

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1.不定積分 無料           【ノート
2.置換積分法(不定積分) 無料    【ノート
3.部分積分法(不定積分) 無料    【ノート
4.定積分とその性質          【ノート
5.置換積分法(定積分)        【ノート
6.部分積分法(定積分)        【ノート
7.定積分と微分法           【ノート
8.定積分と和の極限          【ノート
9.定積分と不等式           【ノート
10. 定積分の応用(面積)       【ノート
11. 定積分の応用(体積)       【ノート
12. 定積分の応用(回転体の体積)   【ノート
※【ノート】はスライドの内容をまとめたものです.

5.置換積分法(定積分)

5.1 定積分の置換積分法

 関数 $f(x)$ は区間 $[a,b]$ で連続,更に $x$ は微分可能な関数 $g(t)$ により $x=g(t)$ で表されているとする.そして,$t$ が $\alpha$ から $\beta$ まで変化したとき,$x$ は $a$ から $b$ まで変化したとする.
 このとき,$f(x)$ の不定積分を $F(x)$ とすれば,置換積分法の公式(Ⅰ)により, \[\begin{align*} \int\!f(g(t))g'(t)\,dt&=\int\!f(x)\,dx\\ &=F(x)+C\\ &=F(g(t))+C \end{align*}\] であるから, \[\begin{align*} \int_\alpha^\beta\!\!f(g(t)g'(t)\,dt&=\Bigl[F(g(t))\Bigr]_\alpha^\beta\!\\ &=F(g(\beta))-F(g(\alpha))\\ &=F(b)-F(a)\\ &=\int_a^b\!\!f(x)dx \end{align*}\] となる.

定積分の置換積分法\[\int_a^b\!\!f(x)\,dx=\int_\alpha^\beta\!\!f(g(t))g'(t)\,dt \]

例1

$a>0$ のとき,$\displaystyle\int_0^a\!\!\sqrt{a^2-x^2}\,dx$ を計算せよ.

 $x=a\sin\theta$ とおくと, \[dx=a\cos\theta\,d\theta,\ \ \begin{array}{c|c} x&0\to a\\\hline \theta&0\to\frac\pi2 \end{array},\] \[\sqrt{a^2-x^2}=\sqrt{a^2(1-\sin^2\theta)}=a|\cos\theta|\] であるから, \[\begin{align*} \int_0^a\!\!\sqrt{a^2-x^2}\,dx&=\int_0^{\frac\pi2}\!\!a|\cos\theta|\cdot a\cos\theta\,d\theta\\ &=a^2\int_0^{\frac\pi2}\cos^2\theta\,d\theta\\ &=\frac{a^2}2\int_0^{\frac\pi2}\!\!(1+\cos2\theta)\,d\theta\\ &=\frac{a^2}2\Bigl[\theta+\frac12\sin2\theta\Bigr]_0^{\frac\pi2}\\ &=\underline{\frac{\pi a^2}4} \end{align*}\]

例2

$\displaystyle\int_0^a\!\!\frac1{a^2+x^2}\,dx$ を計算せよ.

 $x=a\tan\theta$ とおくと, \[dx=\frac a{\cos^2\theta}\,d\theta,\ \ \begin{array}{c|c} x&0\to a\\\hline \theta&0\to\frac\pi4 \end{array},\] \[\frac1{a^2+x^2}=\frac1{a^2(1+\tan^2\theta)}=\frac{\cos^2\theta}{a^2}\] であるから, \[\begin{align*} \int_0^a\!\!\frac1{a^2+x^2}\,dx&=\int_0^{\frac\pi4}\frac{\cos^2\theta}{a^2}\cdot\frac a{\cos^2\theta}\,d\theta\\ &=\frac 1a\int_0^{\frac\pi4}d\theta\\ &=\underline{\frac\pi{4a}} \end{align*}\]

例3
\[\int_0^a\!\!f(x)\,dx=\int_0^a\!\!f(a-x)\,dx\]

証明 $x=a-t$ とおくと, \[dx=-dt,\ \ \begin{array}{c|c} x&0\to a\\\hline t&a\to 0 \end{array}\] \[\begin{align*} \therefore\ \mbox{左辺}&=\int_a^0\!\!f(a-t)\cdot(-dt)\\ &=\int_0^a\!\!f(a-t)\,dt\\ &=\mbox{右辺} \end{align*}\]

5.2 偶関数・奇関数の定積分

確認\begin{align*} &f(x)\mbox{は偶関数}\iff f(-x)=f(x)\\\\ &f(x)\mbox{は奇関数}\iff f(-x)=-f(x) \end{align*}

偶関数・奇関数の定積分\begin{align*} &f(x)\mbox{が偶関数}\Longrightarrow \int_{-a}^a\!\!f(x)dx=2\int_0^a\!\!f(x)dx\\\\ &f(x)\mbox{が奇関数}\Longrightarrow \int_{-a}^a\!\!f(x)dx=0 \end{align*}

証明

\[\int_{-a}^a\!\!f(x)\,dx=\int_{-a}^0\!\!f(x)\,dx+\int_0^a\!\!f(x)\,dx\ \ \cdots\mbox{①}\]  ここで右辺第1項について,$x=-t$ とおくと \[dx=-dt,\ \ \begin{array}{c|ccc} x&-a&\to& 0\\\hline \theta&a&\to& 0 \end{array},\] であるから, \[\int_{-a}^0\!\!f(x)\,dx\!=\!\int_a^0\!\!f(-t)\cdot(-dt)\!=\!\int_0^af(-t)\,dt\!=\!\int_0^af(-x)\,dx\]  よって,$f(x)$ が偶関数のとき, \[\mbox{①}=\int_0^a\!\!f(x)\,dx+\int_0^a\!\!f(x)\,dx=2\int_0^a\!\!f(x)\,dx\]  $f(x)$ が奇関数のとき, \[\mbox{①}=\int_0^a\!\!\{-f(x)\}\,dx+\int_0^a\!\!f(x)\,dx=0\]


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5.置換積分法(定積分)        【ノート
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