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高校数学ノート[総目次]

数学Ⅲ 第3章 積分法

  スライド ノート
1. 不定積分 [無料]  
2. 置換積分法(不定積分) [無料]  
3. 部分積分法(不定積分) [無料]  
4. 定積分とその性質 [会員]  
5. 置換積分法(定積分) [会員]  
6. 部分積分法(定積分) [会員]  
7. 定積分と微分法 [会員]  
8. 定積分と和の極限 [会員]  
9. 定積分と不等式 [会員]  
10. 定積分の応用(面積) [会員]  
11. 定積分の応用(体積) [会員]  
12. 定積分の応用(回転体の体積) [会員]  

5.置換積分法(定積分)

5.1 定積分の置換積分法

 関数 $f(x)$ は区間 $[a,b]$ で連続,更に $x$ は微分可能な関数 $g(t)$ により $x=g(t)$ で表されているとする.そして,$t$ が $\alpha$ から $\beta$ まで変化したとき,$x$ は $a$ から $b$ まで変化したとする.
 このとき,$f(x)$ の不定積分を $F(x)$ とすれば,置換積分法の公式(Ⅰ)により, \[\begin{align*} \int\!f(g(t))g'(t)\,dt&=\int\!f(x)\,dx\\ &=F(x)+C\\ &=F(g(t))+C \end{align*}\] であるから, \[\begin{align*} \int_\alpha^\beta\!\!f(g(t)g'(t)\,dt&=\Bigl[F(g(t))\Bigr]_\alpha^\beta\!\\ &=F(g(\beta))-F(g(\alpha))\\ &=F(b)-F(a)\\ &=\int_a^b\!\!f(x)dx \end{align*}\] となる.

定積分の置換積分法\[\int_a^b\!\!f(x)\,dx=\int_\alpha^\beta\!\!f(g(t))g'(t)\,dt \]

例題1 $a>0$ のとき,$\displaystyle\int_0^a\!\!\sqrt{a^2-x^2}\,dx$ を計算せよ.

 $x=a\sin\theta$ とおくと, \[dx=a\cos\theta\,d\theta,\ \ \begin{array}{c|c} x&0\to a\\\hline \theta&0\to\frac\pi2 \end{array},\] \[\sqrt{a^2-x^2}=\sqrt{a^2(1-\sin^2\theta)}=a|\cos\theta|\] であるから, \[\begin{align*} \int_0^a\!\!\sqrt{a^2-x^2}\,dx&=\int_0^{\frac\pi2}\!\!a|\cos\theta|\cdot a\cos\theta\,d\theta\\ &=a^2\int_0^{\frac\pi2}\cos^2\theta\,d\theta\\ &=\frac{a^2}2\int_0^{\frac\pi2}\!\!(1+\cos2\theta)\,d\theta\\ &=\frac{a^2}2\Bigl[\theta+\frac12\sin2\theta\Bigr]_0^{\frac\pi2}\\ &=\underline{\frac{\pi a^2}4} \end{align*}\]

例題2 $\displaystyle\int_0^a\!\!\frac1{a^2+x^2}\,dx$ を計算せよ.

 $x=a\tan\theta$ とおくと, \[dx=\frac a{\cos^2\theta}\,d\theta,\ \ \begin{array}{c|c} x&0\to a\\\hline \theta&0\to\frac\pi4 \end{array},\] \[\frac1{a^2+x^2}=\frac1{a^2(1+\tan^2\theta)}=\frac{\cos^2\theta}{a^2}\] であるから, \[\begin{align*} \int_0^a\!\!\frac1{a^2+x^2}\,dx&=\int_0^{\frac\pi4}\frac{\cos^2\theta}{a^2}\cdot\frac a{\cos^2\theta}\,d\theta\\ &=\frac 1a\int_0^{\frac\pi4}d\theta\\ &=\underline{\frac\pi{4a}} \end{align*}\]

例題3(重要) 次を示せ. \[\int_0^a\!\!f(x)\,dx=\int_0^a\!\!f(a-x)\,dx\]

証明 $x=a-t$ とおくと, \[dx=-dt,\ \ \begin{array}{c|c} x&0\to a\\\hline t&a\to 0 \end{array}\] \[\begin{align*} \therefore\ \mbox{左辺}&=\int_a^0\!\!f(a-t)\cdot(-dt)\\ &=\int_0^a\!\!f(a-t)\,dt\\ &=\mbox{右辺} \end{align*}\]

5.2 偶関数・奇関数の定積分

確認\begin{align*} &f(x)\mbox{は偶関数}\iff f(-x)=f(x)\\\\ &f(x)\mbox{は奇関数}\iff f(-x)=-f(x) \end{align*}

偶関数・奇関数の定積分\begin{align*} &f(x)\mbox{が偶関数}\Longrightarrow \int_{-a}^a\!\!f(x)dx=2\int_0^a\!\!f(x)dx\\\\ &f(x)\mbox{が奇関数}\Longrightarrow \int_{-a}^a\!\!f(x)dx=0 \end{align*}

証明

\[\int_{-a}^a\!\!f(x)\,dx=\int_{-a}^0\!\!f(x)\,dx+\int_0^a\!\!f(x)\,dx\ \ \cdots\mbox{①}\]  ここで右辺第1項について,$x=-t$ とおくと \[dx=-dt,\ \ \begin{array}{c|ccc} x&-a&\to& 0\\\hline \theta&a&\to& 0 \end{array},\] であるから, \[\int_{-a}^0\!\!f(x)\,dx\!=\!\int_a^0\!\!f(-t)\cdot(-dt)\!=\!\int_0^af(-t)\,dt\!=\!\int_0^af(-x)\,dx\]  よって,$f(x)$ が偶関数のとき, \[\mbox{①}=\int_0^a\!\!f(x)\,dx+\int_0^a\!\!f(x)\,dx=2\int_0^a\!\!f(x)\,dx\]  $f(x)$ が奇関数のとき, \[\mbox{①}=\int_0^a\!\!\{-f(x)\}\,dx+\int_0^a\!\!f(x)\,dx=0\]


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