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7.1 定積分と微分法

$f(x)$が連続関数,$a$が定数のとき, \[\frac d{dx}\int_a^x\!\!f(t)dt=f(x)\]

証明

 $f(t)$の不定積分を$F(t)$とすると, \[\int_a^x\!\!f(t)\,dt=F(x)-F(a)\]  よって, \[\frac d{dx}\int_a^x\!\!f(t)\,dt=F'(x)-\{F(a)\}’=f(x)\]

例1

 $\displaystyle y=\int_1^x\!\!te^{t^2}dt$ のとき, \[ \frac{dy}{dx}=\frac d{dx}\int_1^x\!\!te^{t^2}dt=\underline{xe^{x^2}}\]

例2

 $\displaystyle y=\int_0^x\!\!(x-t)\cos t\,dt$ のとき, \[\begin{align*} &\mbox{×}\ \ \frac{dy}{dx}=(x-x)\cos x=0\ \ (??)\\ &\mbox{〇}\ \ y=x\int_0^x\!\!\cos t\,dt-\int_0^x\!\!t\cos t\,dt\\ &\therefore\frac{dy}{dx}=\left(\int_0^x\!\!\cos t\,dt+x\cos x\right)-x\cos x\\ &\hspace{12mm}=\Bigl[\sin t\Bigr]_0^x\\ &\hspace{12mm}=\underline{\sin x} \end{align*}\]

補足

バリエーション  $a$を定数とする. \begin{align*} &[1]\ \ \frac d{dx}\int_x^a\!\!f(t)dt=-f(x)\\\\ &[2]\ \ \frac d{dx}\int_a^{g(x)}\!\!f(t)dt=f(g(x))g'(x)\\\\ &[3]\ \ \frac d{dx}\int_{h(x)}^{g(x)}\!\!f(t)dt=f(g(x))g'(x)-f(h(x))h'(x) \end{align*}

例2

 $\displaystyle y=\int_{5x}^{x^2}\!\!\sin t\,dt$ のとき, \[\begin{align*} \frac{dy}{dx}&=(x^2)’\times\sin x^2-(5x)’\times\sin 5x\\ &=2x\sin x^2-5\sin5x \end{align*}\]