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高校数学ノート[総目次]

数学Ⅲ 第3章 積分法

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1.不定積分 無料           【ノート
2.置換積分法(不定積分) 無料    【ノート
3.部分積分法(不定積分) 無料    【ノート
4.定積分とその性質          【ノート
5.置換積分法(定積分)        【ノート
6.部分積分法(定積分)        【ノート
7.定積分と微分法           【ノート
8.定積分と和の極限          【ノート
9.定積分と不等式           【ノート
10. 定積分の応用(面積)       【ノート
11. 定積分の応用(体積)       【ノート
12. 定積分の応用(回転体の体積)   【ノート
※【ノート】はスライドの内容をまとめたものです.

7.定積分と微分法

7.1 定積分と微分法

$f(x)$ が連続関数,$a$ が定数のとき, \[\frac d{dx}\int_a^x\!\!f(t)dt=f(x)\]

証明

 $f(t)$ の不定積分を $F(t)$ とすると, \[\int_a^x\!\!f(t)\,dt=F(x)-F(a)\]  よって, \[\frac d{dx}\int_a^x\!\!f(t)\,dt=F'(x)-\{F(a)\}’=f(x)\]

例1

 $\displaystyle y=\int_1^x\!\!te^{t^2}dt$ のとき, \[ \frac{dy}{dx}=\frac d{dx}\int_1^x\!\!te^{t^2}dt=\underline{xe^{x^2}}\]

例2

 $\displaystyle y=\int_0^x\!\!(x-t)\cos t\,dt$ のとき, \[\begin{align*} &\mbox{×}\ \ \frac{dy}{dx}=(x-x)\cos x=0\ \ (??)\\ &\mbox{〇}\ \ y=x\int_0^x\!\!\cos t\,dt-\int_0^x\!\!t\cos t\,dt\\ &\therefore\frac{dy}{dx}=\left(\int_0^x\!\!\cos t\,dt+x\cos x\right)-x\cos x\\ &\hspace{12mm}=\Bigl[\sin t\Bigr]_0^x\\ &\hspace{12mm}=\underline{\sin x} \end{align*}\]

補足

バリエーション  $a$ を定数とする. \begin{align*} &[1]\ \ \frac d{dx}\int_x^a\!\!f(t)dt=-f(x)\\\\ &[2]\ \ \frac d{dx}\int_a^{g(x)}\!\!f(t)dt=f(g(x))g'(x)\\\\ &[3]\ \ \frac d{dx}\int_{h(x)}^{g(x)}\!\!f(t)dt=f(g(x))g'(x)-f(h(x))h'(x) \end{align*}

例2

 $\displaystyle y=\int_{5x}^{x^2}\!\!\sin t\,dt$ のとき, \[\begin{align*} \frac{dy}{dx}&=(x^2)’\times\sin x^2-(5x)’\times\sin 5x\\ &=2x\sin x^2-5\sin5x \end{align*}\]


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2.置換積分法(不定積分) 無料    【ノート
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4.定積分とその性質          【ノート
5.置換積分法(定積分)        【ノート
6.部分積分法(定積分)        【ノート
7.定積分と微分法           【ノート
8.定積分と和の極限          【ノート
9.定積分と不等式           【ノート
10. 定積分の応用(面積)       【ノート
11. 定積分の応用(体積)       【ノート
12. 定積分の応用(回転体の体積)   【ノート
※【ノート】はスライドの内容をまとめたものです.