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高校数学ノート[総目次]

数学Ⅲ 第3章 積分法

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1. 不定積分 [無料]  
2. 置換積分法(不定積分) [無料]  
3. 部分積分法(不定積分) [無料]  
4. 定積分とその性質 [会員]  
5. 置換積分法(定積分) [会員]  
6. 部分積分法(定積分) [会員]  
7. 定積分と微分法 [会員]  
8. 定積分と和の極限 [会員]  
9. 定積分と不等式 [会員]  
10. 定積分の応用(面積) [会員]  
11. 定積分の応用(体積) [会員]  
12. 定積分の応用(回転体の体積) [会員]  

7.定積分と微分法

7.1 定積分と微分法

$f(x)$ が連続関数,$a$ が定数のとき, \[\frac d{dx}\int_a^x\!\!f(t)dt=f(x)\]

証明

 $f(t)$ の不定積分を $F(t)$ とすると, \[\int_a^x\!\!f(t)\,dt=F(x)-F(a)\]  よって, \[\frac d{dx}\int_a^x\!\!f(t)\,dt=F'(x)-\{F(a)\}’=f(x)\]

例1

 $\displaystyle y=\int_1^x\!\!te^{t^2}dt$ のとき, \[ \frac{dy}{dx}=\frac d{dx}\int_1^x\!\!te^{t^2}dt=\underline{xe^{x^2}}\]

例2

 $\displaystyle y=\int_0^x\!\!(x-t)\cos t\,dt$ のとき, \[\begin{align*} &\mbox{×}\ \ \frac{dy}{dx}=(x-x)\cos x=0\ \ (??)\\ &\mbox{〇}\ \ y=x\int_0^x\!\!\cos t\,dt-\int_0^x\!\!t\cos t\,dt\\ &\therefore\frac{dy}{dx}=\left(\int_0^x\!\!\cos t\,dt+x\cos x\right)-x\cos x\\ &\hspace{12mm}=\Bigl[\sin t\Bigr]_0^x\\ &\hspace{12mm}=\underline{\sin x} \end{align*}\]

補足

バリエーション  $a$ を定数とする. \begin{align*} &[1]\ \ \frac d{dx}\int_x^a\!\!f(t)dt=-f(x)\\\\ &[2]\ \ \frac d{dx}\int_a^{g(x)}\!\!f(t)dt=f(g(x))g'(x)\\\\ &[3]\ \ \frac d{dx}\int_{h(x)}^{g(x)}\!\!f(t)dt=f(g(x))g'(x)-f(h(x))h'(x) \end{align*}

 $\displaystyle y=\int_{5x}^{x^2}\!\!\sin t\,dt$ のとき, \[\begin{align*} \frac{dy}{dx}&=(x^2)’\times\sin x^2-(5x)’\times\sin 5x\\ &=2x\sin x^2-5\sin5x \end{align*}\]


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