このページにある内容は,こちらのスライドでわかり易く説明しています.

12.1 回転体の体積

 曲線$y=f(x)$と$x$軸,及び2直線$x=a,x=b$で囲まれた部分を$x$軸のまわりに1回転させてできる回転体の体積を$V$とする.
 この立体を$x$軸と垂直な平面で切ってできる切り口は,半径$|y|\ (=|f(x)|)$の円であるから,切り口の面積は, \[\pi y^2\ (=\pi\{f(x)\}^2)\] である.従って,次が成り立つ:

回転体の体積 \[V=\pi\int_a^b\!\!y^2\,dx=\pi\int_a^b\!\!\{f(x)\}^2\,dx\]

 半径 $r$ の球の体積$V$を求めよ.

 球の中心を原点とする.半径 $r$ の球は円 $x^2+y^2=r^2$ で囲まれた部分を $x$ 軸のまわりに回転させてできる回転体と考えることができるから, \[\begin{align*} V&=\pi\int_{-r}^r\!\!y^2\,dx\\ &=\pi\int_{-r}^r\!\!(r^2-x^2)\,dx\\ &=-\pi\int_{-r}^r\!\!(x+r)(x-r)\,dx\\ &=\frac\pi6\{r-(-r)\}^3\\ &=\underline{\frac43\pi r^3} \end{align*}\]

12.2 2曲線の間の領域の回転体

関数$f(x),\ g(x)$ が区間$[a,b]$で常に $f(x)\geqq g(x)\geqq0$ であるとする.このとき,2曲線$y=f(x),\ y=g(x)$,及び2直線$x=a,\ x=b$で囲まれた部分を $x$ 軸のまわりに1回転して得られる回転体の体積$V$は \[\begin{align*} V&=\pi\int_a^b\!\!\{f(x)\}^2\,dx-\pi\int_a^b\!\!\{g(x)\}^2\,dx\\ &=\pi\int_a^b\!\!(f^2-g^2)\,dx\\ & (f,\,g\ \mbox{のあとの「} \,(x)\, \mbox{」を省略した.}) \end{align*}\]

2曲線で囲まれる回転体の体積 \[V=\pi\int_a^b\!\!(f^2-g^2)\,dx\]

注意

 $V=\pi\displaystyle\int_a^b\!\!(f-g)^2\,dx$ ではない!!

 円$x^2+(y-2)^2=1$の$x$軸まわりの回転体の体積$V$を求めよ.

 $x^2+(y-2)^2=1$を$y$ について解くと, \[y=\left\{\begin{array}{ll} 2+\sqrt{1-x^2}&(\mbox{円の上半分})\ \cdots\mbox{①}\\ 2-\sqrt{1-x^2}&(\mbox{円の下半分})\ \cdots\mbox{②} \end{array}\right.\]  ①$\geqq$②$\geqq 0$であるから, \[\begin{align*} V&=\pi\int_{-1}^1\!\!\left(\mbox{①}^2-\mbox{②}^2\right)\,dx\\ &=8\pi\int_{-1}^1\!\!\sqrt{1-x^2}\,dx\\ &=8\pi\times\frac\pi2\\ &=\underline{4\pi^2} \end{align*}\]

12.3 領域が回転軸をまたぐ場合

 回転領域が回転軸をまたぐとき,短い方を回転して得られる部分は,長い方を回転して得られる部分にすっぽりと含まれる.
 例えば,$a\leqq x\leqq b$において,2曲線$y=f(x)$と$y=g(x)$,及び2直線$x=a,x=b$で囲まれる部分に$x$軸があり,区間[a,c]で$|f(x)|\geqq|g(x)|$,区間$[c,b]$で$|f(x)|\leqq|g(x)|$であるとき,$x$軸のまわりに回転して得られる回転体の体積は, \[\pi\int_a^c\!\!\{f(x)\}^2\,dx+\pi\int_c^b\!\!\{g(x)\}^2\,dx\] となる.

 $\dfrac\pi4\leqq x\leqq\dfrac54\pi$で2曲線$y=\sin x$と$y=\cos x$によって囲まれる部分を$x$軸のまわりに回転させてできる立体の体積$V$を求めよ.

 対称性により,$\dfrac\pi4\leqq x\leqq\dfrac34\pi$の部分を考える.$\dfrac\pi2\leqq x\leqq\dfrac34\pi$における$y=\cos x$のグラフを$x$軸に関して折り返すと,$y=\sin x$の下側になるので, \[\begin{align*} V&=2\times\pi\left(\int_{\frac\pi4}^{\frac34\pi}\!\sin^2 x\,dx-\int_{\frac\pi4}^{\frac\pi2}\!\cos^2 x\,dx\right)\\ &=\cdots=\underline{\frac{\pi^2}4+\frac32\pi} \end{align*}\]

12.4 $y$ 軸まわりの回転体

 図のような曲線$y=f(x)$と$y$軸,及び2直線$y=a,y=b$とで囲まれる部分を$y$軸のまわりに1回転して得られる回転体の体積$V$は,$y$軸に垂直な平面で切った断面積が$\pi x^2$であるから,次で与えられる:

$y$軸まわりの回転体の体積 \[V=\pi\int_a^b\!\!x^2\,dy\]

 曲線$y=4-x^2$と$x$軸,$y$軸とで囲まれた部分の$y$軸まわりの回転体の体積$V$を求めよ.

 $y=4-x^2$より$x^2=4-y$であるから, \[\begin{align*} V&=\pi\int_0^4\!\!x^2\,dy\\ &=\pi\int_0^4\!\!(4-y)\,dy\\ &=\pi\left[-\frac{(4-y)^2}2\right]_0^4\\ &=\underline{8\pi} \end{align*}\]

 上の例では$x^2$を$y$の式で簡単に表すことができた.($y=4-x^2\to x^2=4-y$)
 しかし,いつでもそのようなことが可能かといえば,そうではない.
 $y=f(x)$から$x^2$を$y$の式で表しにくいときは(また表しにくくなくても),積分変数を$y$から$x$に変換(置換積分)して次のように計算できる:

\[\pi\int_a^b\!\!x^2\,dy=\pi\int_\alpha^\beta\!\!x^2\frac{dy}{dx}\,dx\]  ただし,$y$が$a$から $b$まで変化するとき,$x$は$\alpha$から$\beta$まで変化する.

 曲線$y=\cos x\ (0\leqq x\leqq\frac\pi2)$と$x$軸,$y$軸で囲まれた部分の$y$軸まわりの回転体の体積$V$を求めよ.

 $y=\cos x$より \[dy=-\sin x\,dx,\ \ \begin{array}{c|c} y&0\to 1\\\hline x&\frac\pi2\to0 \end{array}\]  よって, \[\begin{align*} V&=\pi\int_0^1\!\!x^2\,dy\\ &=\pi\int_{\frac\pi2}^0\!\!x^2\,\cdot(-\sin x)\,dx\\ &=\pi\int_0^{\frac\pi2}\!\!x^2\sin x\,dx\\ &=\cdots=\underline{\pi^2-2\pi} \end{align*}\]

12.5 単調ではない曲線の$y$軸まわりの回転体

 $f(x)$が単調でなければ,$y$軸まわりの回転体の体積の計算はややこしい.

 曲線$y=-x^2+2x$と$x$軸とで囲まれた部分の$y$軸まわりの回転体の体積$V$を求めよ.

 $y=-x^2+2x$を変形して,$x^2-2x+y=0$.よって解の公式により, \[\therefore x=\left\{\begin{array}{ll} 1+\sqrt{1-y}& (x\geqq1)\\ 1-\sqrt{1-y}& (x\leqq1) \end{array}\right.\]  ここで, \[\left\{\begin{array}{l} x_1=1+\sqrt{1-y}\\ x_2=1-\sqrt{1-y} \end{array}\right.\] とおくと, \[\begin{align*} V&=\pi\int_0^1\!\!{x_1}^2\,dy-\pi\int_0^1\!\!{x_2}^2\,dy\\ &=\pi\int_0^1\!\!({x_1}^2-{x_2}^2)\,dy\\ &=\pi\int_0^1\!\!\left\{(1+\sqrt{1-y})^2-(1-\sqrt{1-y})^2\right\}^2\,dy\\ &=4\pi\int_0^1\!\!\sqrt{1-y}\,dy\\ &=4\pi\left[-\frac23(1-y)^{\frac32}\right]_0^1\\ &=\underline{\frac83\pi} \end{align*}\]

12.6 一般の回転体

 考え方はこれまでと同じで,

回転体に垂直な平面での切り口を考える

 曲線$y=x^2$と直線$y=x$で囲まれた部分を,直線$y=x$のまわりに1回転して得られる立体の体積$V$を求めよ.

 曲線$y=x^2$上の点Pから直線$y=x$に下ろした垂線の足をH,OH$=t$とおくと, \[\begin{align*} V&=\pi\int_0^{\sqrt2}\!\!{\rm PH}^2\,dt\\ &=\pi\int_0^{\sqrt2}\!\!\{(x-x^2)\cos45^\circ\}^2\,dt\\ &=\frac\pi2\int_0^{\sqrt2}(x-x^2)^2\,dt \end{align*}\]  ここで,$x$と$t$の関係 \[t=\sqrt2x-\frac{x-x^2}{\sqrt2}=\frac{x+x^2}{\sqrt2}\] により, \[dt=\frac{1+2x}{\sqrt2}\,dx,\ \ \begin{array}{c|c} t&0\to \sqrt2\\\hline x&0\to1 \end{array}\]  よって, \[\begin{align*} V&=\frac\pi2\int_0^1\!\!(x-x^2)^2\cdot\frac{1+2x}{\sqrt2}\,dx\\ &=\cdots=\underline{\frac{\sqrt2}{60}\pi} \end{align*}\]

12.7 媒介変数表示と体積

 媒介変数表示を生かして媒介変数で積分するのがポイント.

 サイクロイド$\left\{\begin{array}{l}x=a(t-\sin t)\\ y=a(1-\cos t)\end{array}\right.\ (a>0,\ 0\leqq t\leqq 2\pi)$と$x$軸で囲まれた部分について,$x$軸まわりの回転体の体積$V$を求めよ..

 $x=a(t-\sin t)$より, \[dx=a(1-\cos t)\,dt,\ \ \begin{array}{c|c} x&0\to 2\pi a\\\hline t&0\to 2\pi \end{array}\] であるから, \[\begin{align*} V&=\pi\int_0^{2\pi a}\!\!y^2\,dx\\ &=\pi\int_0^{2\pi}\{a(1-\cos t)\}^2\cdot a(1-\cos t)\,dt\\ &=\pi a^3\int_0^{2\pi}(1-\cos t)^3\,dt\\ &=\pi a^3\int_0^{2\pi}(1-3\cos t+3\cos^2t-\cos^3t)\,dt\\ &=\cdots=\underline{5\pi^2a^3} \end{align*}\]