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高校数学ノート[総目次]

数学Ⅲ 第3章 積分法

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11. 定積分の応用(体積) [会員]  
12. 定積分の応用(回転体の体積) [会員]  
13. 曲線の長さ    

12.定積分の応用(回転体の体積)

12.1 回転体の体積

 曲線 $y=f(x)$ と $x$ 軸,及び2直線 $x=a, x=b\ (a < b)$ で囲まれた部分を $x$ 軸のまわりに1回転させてできる回転体の体積を $V$ とする.
 この立体を $x$ 軸と垂直な平面で切ってできる切り口は,半径 $|y|\ (=|f(x)|)$ の円であるから,切り口の面積は, \[\pi y^2\ (=\pi\{f(x)\}^2)\] である.従って,次が成り立つ:

回転体の体積 \[V=\pi\int_a^b\!\!y^2\,dx=\pi\int_a^b\!\!\{f(x)\}^2\,dx\]

例題 半径 $r$ の球の体積 $V$ を求めよ.

 球の中心を原点とする.半径 $r$ の球は円 $x^2+y^2=r^2$ で囲まれた部分を $x$ 軸のまわりに回転させてできる回転体と考えることができるから, \[\begin{align*} V&=\pi\int_{-r}^r\!\!y^2\,dx\\ &=\pi\int_{-r}^r\!\!(r^2-x^2)\,dx\\ &=-\pi\int_{-r}^r\!\!(x+r)(x-r)\,dx\\ &=\frac\pi6\{r-(-r)\}^3\\ &=\underline{\boldsymbol{\frac43\pi r^3}} \end{align*}\]

12.2 2曲線の間の領域の回転体

 関数 $f(x),\ g(x)$ が区間 $[a,b]$ で常に $f(x)\geqq g(x)\geqq0$ であるとする.このとき,2曲線 $y=f(x),\ y=g(x)$,及び 2直線 $x=a,\ x=b$ で囲まれた部分を $x$ 軸のまわりに1回転して得られる回転体の体積 $V$ は \[\begin{align*} V&=\pi\int_a^b\!\!\{f(x)\}^2\,dx-\pi\int_a^b\!\!\{g(x)\}^2\,dx\\ &=\pi\int_a^b\!\!(f^2-g^2)\,dx\\ & (f,\,g\ \mbox{のあとの「} \,(x)\, \mbox{」を省略した.}) \end{align*}\]

2曲線で囲まれる回転体の体積 \[V=\pi\int_a^b\!\!(f^2-g^2)\,dx\]

注意

 $V=\pi\displaystyle\int_a^b\!\!(f-g)^2\,dx$ ではない!!

例題 円 $x^2+(y-2)^2=1$ の $x$ 軸まわりの回転体の体積 $V$ を求めよ.

 $x^2+(y-2)^2=1$ を $y$ について解くと, \[y=\left\{\begin{array}{ll} 2+\sqrt{1-x^2}&(\mbox{円の上半分})\ \cdots\mbox{①}\\ 2-\sqrt{1-x^2}&(\mbox{円の下半分})\ \cdots\mbox{②} \end{array}\right.\]  ①$\geqq$②$\geqq 0$ であるから, \[\begin{align*} V&=\pi\int_{-1}^1\!\!\left(\mbox{①}^2-\mbox{②}^2\right)\,dx\\ &=8\pi\int_{-1}^1\!\!\sqrt{1-x^2}\,dx\\ &=8\pi\times\frac\pi2\\ &=\underline{\boldsymbol{4\pi^2}} \end{align*}\]

12.3 領域が回転軸をまたぐ場合

 回転領域が回転軸をまたぐとき,短い方を回転して得られる部分は,長い方を回転して得られる部分にすっぽりと含まれる.
 例えば,$a\leqq x\leqq b$ において,2曲線 $y=f(x)$ と $y=g(x)$,及び2直線 $x=a,\ x=b$ で囲まれる部分に $x$ 軸があり,区間 $[a,\ c]$ で $|f(x)|\geqq|g(x)|$ ,区間 $[c,b]$ で $|f(x)|\leqq|g(x)|$ であるとき,$x$ 軸のまわりに回転して得られる回転体の体積は, \[\pi\int_a^c\!\!\{f(x)\}^2\,dx+\pi\int_c^b\!\!\{g(x)\}^2\,dx\] となる.

例題 $\dfrac\pi4\leqq x\leqq\dfrac54\pi$ で2曲線 $y=\sin x$ と $y=\cos x$ によって囲まれる部分を $x$ 軸のまわりに回転させてできる立体の体積 $V$ を求めよ.

 対称性により,$\dfrac\pi4\leqq x\leqq\dfrac34\pi$ の部分を考える.$\dfrac\pi2\leqq x\leqq\dfrac34\pi$ における $y=\cos x$ のグラフを $x$ 軸に関して折り返すと,$y=\sin x$ の下側になるので, \[\begin{align*} V&=2\times\pi\left(\int_{\frac\pi4}^{\frac34\pi}\!\sin^2 x\,dx-\int_{\frac\pi4}^{\frac\pi2}\!\cos^2 x\,dx\right)\\ &=\cdots=\underline{\boldsymbol{\frac{\pi^2}4+\frac32\pi}} \end{align*}\]

12.4 $y$ 軸まわりの回転体

 図のような曲線 $y=f(x)$ と $y$ 軸,及び 2直線 $y=a,y=b$ とで囲まれる部分を $y$ 軸のまわりに1回転して得られる回転体の体積 $V$ は,$y$ 軸に垂直な平面で切った断面積が $\pi x^2$ であるから,次で与えられる:

$y$ 軸まわりの回転体の体積 \[V=\pi\int_a^b\!\!x^2\,dy\]

例題 曲線 $y=4-x^2$ と $x$ 軸,$y$ 軸とで囲まれた部分の $y$ 軸まわりの回転体の体積 $V$ を求めよ.

 $y=4-x^2$ より $x^2=4-y$ であるから, \[\begin{align*} V&=\pi\int_0^4\!\!x^2\,dy\\ &=\pi\int_0^4\!\!(4-y)\,dy\\ &=\pi\left[-\frac{(4-y)^2}2\right]_0^4\\ &=\underline{\boldsymbol{8\pi}} \end{align*}\]

 上の例では $x^2$ を $y$ の式で簡単に表すことができた.($y=4-x^2\to x^2=4-y$)
 しかし,いつでもそのようなことが可能かといえば,そうではない.
 $y=f(x)$ から $x^2$ を $y$ の式で表しにくいときは(また表しにくくなくても),積分変数を $y$ から $x$ に変換(置換積分)して次のように計算できる:

\[\pi\int_a^b\!\!x^2\,dy=\pi\int_\alpha^\beta\!\!x^2\frac{dy}{dx}\,dx\]  ただし,$y$ が $a$ から $b$ まで変化するとき,$x$ は $\alpha$ から $\beta$ まで変化する.

例題 曲線 $y=\cos x\ (0\leqq x\leqq\frac\pi2)$ と $x$ 軸,$y$ 軸で囲まれた部分の $y$ 軸まわりの回転体の体積 $V$ を求めよ.

 $y=\cos x$ より \[dy=-\sin x\,dx,\ \ \begin{array}{c|c} y&0\to 1\\\hline x&\frac\pi2\to0 \end{array}\]  よって, \[\begin{align*} V&=\pi\int_0^1\!\!x^2\,dy\\ &=\pi\int_{\frac\pi2}^0\!\!x^2\,\cdot(-\sin x)\,dx\\ &=\pi\int_0^{\frac\pi2}\!\!x^2\sin x\,dx\\ &=\cdots=\underline{\boldsymbol{\pi^2-2\pi}} \end{align*}\]

12.5 単調ではない曲線の $y$ 軸まわりの回転体

 $f(x)$ が単調でなければ,$y$ 軸まわりの回転体の体積の計算はややこしい.

例題 曲線 $y=-x^2+2x$ と $x$ 軸とで囲まれた部分の $y$ 軸まわりの回転体の体積 $V$ を求めよ.

 $y=-x^2+2x$ を変形して,$x^2-2x+y=0$.よって解の公式により, \[\therefore x=\left\{\begin{array}{ll} 1+\sqrt{1-y}& (x\geqq1)\\ 1-\sqrt{1-y}& (x\leqq1) \end{array}\right.\]

 ここで, \[\left\{\begin{array}{l} x_1=1+\sqrt{1-y}\\ x_2=1-\sqrt{1-y} \end{array}\right.\] とおくと, \[\begin{align*} V&=\pi\int_0^1\!\!{x_1}^2\,dy-\pi\int_0^1\!\!{x_2}^2\,dy\\ &=\pi\int_0^1\!\!({x_1}^2-{x_2}^2)\,dy\\ &=\pi\int_0^1\!\!\left\{(1+\sqrt{1-y})^2-(1-\sqrt{1-y})^2\right\}^2\,dy\\ &=4\pi\int_0^1\!\!\sqrt{1-y}\,dy\\ &=4\pi\left[-\frac23(1-y)^{\frac32}\right]_0^1\\ &=\underline{\boldsymbol{\frac83\pi}} \end{align*}\]

12.6 一般の回転体

 考え方はこれまでと同じで,
回転体に垂直な平面での切り口を考える

例題 曲線 $y=x^2$ と直線 $y=x$ で囲まれた部分を,直線 $y=x$ のまわりに 1 回転して得られる立体の体積 $V$ を求めよ.

 曲線 $y=x^2$ 上の点Pから直線 $y=x$ に下ろした垂線の足をH, OH$=t$ とおくと, \[\begin{align*} V&=\pi\int_0^{\sqrt2}\!\!{\rm PH}^2\,dt\\ &=\pi\int_0^{\sqrt2}\!\!\{(x-x^2)\cos45^\circ\}^2\,dt\\ &=\frac\pi2\int_0^{\sqrt2}(x-x^2)^2\,dt \end{align*}\]  ここで,$x$ と $t$ の関係 \[t=\sqrt2x-\frac{x-x^2}{\sqrt2}=\frac{x+x^2}{\sqrt2}\] により, \[dt=\frac{1+2x}{\sqrt2}\,dx,\ \ \begin{array}{c|c} t&0\to \sqrt2\\\hline x&0\to1 \end{array}\]  よって, \[\begin{align*} V&=\frac\pi2\int_0^1\!\!(x-x^2)^2\cdot\frac{1+2x}{\sqrt2}\,dx\\ &=\cdots=\underline{\boldsymbol{\frac{\sqrt2}{60}\pi}} \end{align*}\]

12.7 媒介変数表示と体積

ポイント
媒介変数表示を生かして媒介変数で積分する.

例題 サイクロイド $\left\{\begin{array}{l}x=a(t-\sin t)\\ y=a(1-\cos t)\end{array}\right.\ (a>0,\ 0\leqq t\leqq 2\pi)$ と $x$ 軸で囲まれた部分について,$x$ 軸まわりの回転体の体積 $V$ を求めよ.

 $x=a(t-\sin t)$ より, \[dx=a(1-\cos t)\,dt,\ \ \begin{array}{c|c} x&0\to 2\pi a\\\hline t&0\to 2\pi \end{array}\] であるから, \[\begin{align*} V&=\pi\int_0^{2\pi a}\!\!y^2\,dx\\ &=\pi\int_0^{2\pi}\{a(1-\cos t)\}^2\cdot a(1-\cos t)\,dt\\ &=\pi a^3\int_0^{2\pi}(1-\cos t)^3\,dt\\ &=\pi a^3\int_0^{2\pi}(1-3\cos t+3\cos^2t-\cos^3t)\,dt\\ &=\cdots=\underline{\boldsymbol{5\pi^2a^3}} \end{align*}\]


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