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高校数学ノート[総目次]

数学Ⅲ 第3章 積分法

スライド↓        ノート↓
1.不定積分 無料           【ノート
2.置換積分法(不定積分) 無料    【ノート
3.部分積分法(不定積分) 無料    【ノート
4.定積分とその性質          【ノート
5.置換積分法(定積分)        【ノート
6.部分積分法(定積分)        【ノート
7.定積分と微分法           【ノート
8.定積分と和の極限          【ノート
9.定積分と不等式           【ノート
10. 定積分の応用(面積)       【ノート
11. 定積分の応用(体積)       【ノート
12. 定積分の応用(回転体の体積)   【ノート】
※【ノート】はスライドの内容をまとめたものです.

12.定積分の応用(回転体の体積)

12.1 回転体の体積

 曲線 $y=f(x)$ と $x$ 軸,及び2直線 $x=a, x=b\ (a < b)$ で囲まれた部分を $x$ 軸のまわりに1回転させてできる回転体の体積を $V$ とする.
 この立体を $x$ 軸と垂直な平面で切ってできる切り口は,半径 $|y|\ (=|f(x)|)$ の円であるから,切り口の面積は, \[\pi y^2\ (=\pi\{f(x)\}^2)\] である.従って,次が成り立つ:

回転体の体積 \[V=\pi\int_a^b\!\!y^2\,dx=\pi\int_a^b\!\!\{f(x)\}^2\,dx\]

例題 半径 $r$ の球の体積 $V$ を求めよ.

 球の中心を原点とする.半径 $r$ の球は円 $x^2+y^2=r^2$ で囲まれた部分を $x$ 軸のまわりに回転させてできる回転体と考えることができるから, \[\begin{align*} V&=\pi\int_{-r}^r\!\!y^2\,dx\\ &=\pi\int_{-r}^r\!\!(r^2-x^2)\,dx\\ &=-\pi\int_{-r}^r\!\!(x+r)(x-r)\,dx\\ &=\frac\pi6\{r-(-r)\}^3\\ &=\underline{\frac43\pi r^3} \end{align*}\]

12.2 2曲線の間の領域の回転体

 関数 $f(x),\ g(x)$ が区間 $[a,b]$ で常に $f(x)\geqq g(x)\geqq0$ であるとする.このとき,2曲線 $y=f(x),\ y=g(x)$,及び 2直線 $x=a,\ x=b$ で囲まれた部分を $x$ 軸のまわりに1回転して得られる回転体の体積 $V$ は \[\begin{align*} V&=\pi\int_a^b\!\!\{f(x)\}^2\,dx-\pi\int_a^b\!\!\{g(x)\}^2\,dx\\ &=\pi\int_a^b\!\!(f^2-g^2)\,dx\\ & (f,\,g\ \mbox{のあとの「} \,(x)\, \mbox{」を省略した.}) \end{align*}\]

2曲線で囲まれる回転体の体積 \[V=\pi\int_a^b\!\!(f^2-g^2)\,dx\]

注意

 $V=\pi\displaystyle\int_a^b\!\!(f-g)^2\,dx$ ではない!!

例題 円 $x^2+(y-2)^2=1$ の $x$ 軸まわりの回転体の体積 $V$ を求めよ.

 $x^2+(y-2)^2=1$ を $y$ について解くと, \[y=\left\{\begin{array}{ll} 2+\sqrt{1-x^2}&(\mbox{円の上半分})\ \cdots\mbox{①}\\ 2-\sqrt{1-x^2}&(\mbox{円の下半分})\ \cdots\mbox{②} \end{array}\right.\]  ①$\geqq$②$\geqq 0$ であるから, \[\begin{align*} V&=\pi\int_{-1}^1\!\!\left(\mbox{①}^2-\mbox{②}^2\right)\,dx\\ &=8\pi\int_{-1}^1\!\!\sqrt{1-x^2}\,dx\\ &=8\pi\times\frac\pi2\\ &=\underline{4\pi^2} \end{align*}\]

12.3 領域が回転軸をまたぐ場合

 回転領域が回転軸をまたぐとき,短い方を回転して得られる部分は,長い方を回転して得られる部分にすっぽりと含まれる.
 例えば,$a\leqq x\leqq b$ において,2曲線 $y=f(x)$ と $y=g(x)$,及び2直線 $x=a,\ x=b$ で囲まれる部分に $x$ 軸があり,区間 $[a,\ c]$ で $|f(x)|\geqq|g(x)|$ ,区間 $[c,b]$ で $|f(x)|\leqq|g(x)|$ であるとき,$x$ 軸のまわりに回転して得られる回転体の体積は, \[\pi\int_a^c\!\!\{f(x)\}^2\,dx+\pi\int_c^b\!\!\{g(x)\}^2\,dx\] となる.

例題 $\dfrac\pi4\leqq x\leqq\dfrac54\pi$ で2曲線 $y=\sin x$ と $y=\cos x$ によって囲まれる部分を $x$ 軸のまわりに回転させてできる立体の体積 $V$ を求めよ.

 対称性により,$\dfrac\pi4\leqq x\leqq\dfrac34\pi$ の部分を考える.$\dfrac\pi2\leqq x\leqq\dfrac34\pi$ における $y=\cos x$ のグラフを $x$ 軸に関して折り返すと,$y=\sin x$ の下側になるので, \[\begin{align*} V&=2\times\pi\left(\int_{\frac\pi4}^{\frac34\pi}\!\sin^2 x\,dx-\int_{\frac\pi4}^{\frac\pi2}\!\cos^2 x\,dx\right)\\ &=\cdots=\underline{\frac{\pi^2}4+\frac32\pi} \end{align*}\]

12.4 $y$ 軸まわりの回転体

 図のような曲線 $y=f(x)$ と $y$ 軸,及び 2直線 $y=a,y=b$ とで囲まれる部分を $y$ 軸のまわりに1回転して得られる回転体の体積 $V$ は,$y$ 軸に垂直な平面で切った断面積が $\pi x^2$ であるから,次で与えられる:

$y$ 軸まわりの回転体の体積 \[V=\pi\int_a^b\!\!x^2\,dy\]

例題 曲線 $y=4-x^2$ と $x$ 軸,$y$ 軸とで囲まれた部分の $y$ 軸まわりの回転体の体積 $V$ を求めよ.

 $y=4-x^2$ より $x^2=4-y$ であるから, \[\begin{align*} V&=\pi\int_0^4\!\!x^2\,dy\\ &=\pi\int_0^4\!\!(4-y)\,dy\\ &=\pi\left[-\frac{(4-y)^2}2\right]_0^4\\ &=\underline{8\pi} \end{align*}\]

 上の例では $x^2$ を $y$ の式で簡単に表すことができた.($y=4-x^2\to x^2=4-y$)
 しかし,いつでもそのようなことが可能かといえば,そうではない.
 $y=f(x)$ から $x^2$ を $y$ の式で表しにくいときは(また表しにくくなくても),積分変数を $y$ から $x$ に変換(置換積分)して次のように計算できる:

\[\pi\int_a^b\!\!x^2\,dy=\pi\int_\alpha^\beta\!\!x^2\frac{dy}{dx}\,dx\]  ただし,$y$ が $a$ から $b$ まで変化するとき,$x$ は $\alpha$ から $\beta$ まで変化する.

例題 曲線 $y=\cos x\ (0\leqq x\leqq\frac\pi2)$ と $x$ 軸,$y$ 軸で囲まれた部分の $y$ 軸まわりの回転体の体積 $V$ を求めよ.

 $y=\cos x$ より \[dy=-\sin x\,dx,\ \ \begin{array}{c|c} y&0\to 1\\\hline x&\frac\pi2\to0 \end{array}\]  よって, \[\begin{align*} V&=\pi\int_0^1\!\!x^2\,dy\\ &=\pi\int_{\frac\pi2}^0\!\!x^2\,\cdot(-\sin x)\,dx\\ &=\pi\int_0^{\frac\pi2}\!\!x^2\sin x\,dx\\ &=\cdots=\underline{\pi^2-2\pi} \end{align*}\]

12.5 単調ではない曲線の $y$ 軸まわりの回転体

 $f(x)$ が単調でなければ,$y$ 軸まわりの回転体の体積の計算はややこしい.

例題 曲線 $y=-x^2+2x$ と $x$ 軸とで囲まれた部分の $y$ 軸まわりの回転体の体積 $V$ を求めよ.

 $y=-x^2+2x$ を変形して,$x^2-2x+y=0$.よって解の公式により, \[\therefore x=\left\{\begin{array}{ll} 1+\sqrt{1-y}& (x\geqq1)\\ 1-\sqrt{1-y}& (x\leqq1) \end{array}\right.\]  ここで, \[\left\{\begin{array}{l} x_1=1+\sqrt{1-y}\\ x_2=1-\sqrt{1-y} \end{array}\right.\] とおくと, \[\begin{align*} V&=\pi\int_0^1\!\!{x_1}^2\,dy-\pi\int_0^1\!\!{x_2}^2\,dy\\ &=\pi\int_0^1\!\!({x_1}^2-{x_2}^2)\,dy\\ &=\pi\int_0^1\!\!\left\{(1+\sqrt{1-y})^2-(1-\sqrt{1-y})^2\right\}^2\,dy\\ &=4\pi\int_0^1\!\!\sqrt{1-y}\,dy\\ &=4\pi\left[-\frac23(1-y)^{\frac32}\right]_0^1\\ &=\underline{\frac83\pi} \end{align*}\]

12.6 一般の回転体

 考え方はこれまでと同じで,
回転体に垂直な平面での切り口を考える

例題 曲線 $y=x^2$ と直線 $y=x$ で囲まれた部分を,直線 $y=x$ のまわりに 1 回転して得られる立体の体積 $V$ を求めよ.

 曲線 $y=x^2$ 上の点Pから直線 $y=x$ に下ろした垂線の足をH, OH$=t$ とおくと, \[\begin{align*} V&=\pi\int_0^{\sqrt2}\!\!{\rm PH}^2\,dt\\ &=\pi\int_0^{\sqrt2}\!\!\{(x-x^2)\cos45^\circ\}^2\,dt\\ &=\frac\pi2\int_0^{\sqrt2}(x-x^2)^2\,dt \end{align*}\]  ここで,$x$ と $t$ の関係 \[t=\sqrt2x-\frac{x-x^2}{\sqrt2}=\frac{x+x^2}{\sqrt2}\] により, \[dt=\frac{1+2x}{\sqrt2}\,dx,\ \ \begin{array}{c|c} t&0\to \sqrt2\\\hline x&0\to1 \end{array}\]  よって, \[\begin{align*} V&=\frac\pi2\int_0^1\!\!(x-x^2)^2\cdot\frac{1+2x}{\sqrt2}\,dx\\ &=\cdots=\underline{\frac{\sqrt2}{60}\pi} \end{align*}\]

12.7 媒介変数表示と体積

ポイント
媒介変数表示を生かして媒介変数で積分する.

例題 サイクロイド $\left\{\begin{array}{l}x=a(t-\sin t)\\ y=a(1-\cos t)\end{array}\right.\ (a>0,\ 0\leqq t\leqq 2\pi)$ と $x$ 軸で囲まれた部分について,$x$ 軸まわりの回転体の体積 $V$ を求めよ.

 $x=a(t-\sin t)$ より, \[dx=a(1-\cos t)\,dt,\ \ \begin{array}{c|c} x&0\to 2\pi a\\\hline t&0\to 2\pi \end{array}\] であるから, \[\begin{align*} V&=\pi\int_0^{2\pi a}\!\!y^2\,dx\\ &=\pi\int_0^{2\pi}\{a(1-\cos t)\}^2\cdot a(1-\cos t)\,dt\\ &=\pi a^3\int_0^{2\pi}(1-\cos t)^3\,dt\\ &=\pi a^3\int_0^{2\pi}(1-3\cos t+3\cos^2t-\cos^3t)\,dt\\ &=\cdots=\underline{5\pi^2a^3} \end{align*}\]


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