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高校数学[総目次]

数学Ⅲ 第3章 積分法

  スライド ノート
1. 不定積分 [無料]  
2. 置換積分法(不定積分) [無料]  
3. 部分積分法(不定積分) [無料]  
4. 定積分とその性質 [会員]  
5. 置換積分法(定積分) [会員]  
6. 部分積分法(定積分) [会員]  
7. 定積分と微分法 [会員]  
8. 定積分と和の極限 [会員]  
9. 定積分と不等式 [会員]  
10. 定積分の応用(面積) [会員]  
11. 定積分の応用(体積) [会員]  
12. 定積分の応用(回転体の体積) [会員]  
13. 曲線の長さ    

12.定積分の応用(回転体の体積)

12.1 回転体の体積

 曲線 $y=f(x)$ と $x$ 軸,及び2直線 $x=a$,$x=b$ $(a < b)$ で囲まれた部分を $x$ 軸のまわりに1回転させてできる回転体の体積を $V$ とする.
 この立体を $x$ 軸と垂直な平面で切ってできる切り口は,半径 $|y|\ (=|f(x)|)$ の円であるから,切り口の面積は,

\[\pi y^2\ (=\pi\{f(x)\}^2)\]

である.従って,次が成り立つ:

回転体の体積

\[V=\pi\int_a^b\!\!y^2\,dx=\pi\int_a^b\!\!\{f(x)\}^2\,dx\]

例題 半径 $r$ の球の体積 $V$ を求めよ.

こたえ

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12.2 2曲線の間の領域の回転体

 関数 $f(x),\ g(x)$ が区間 $[a,b]$ で常に $f(x)\geqq g(x)\geqq0$ であるとする.このとき,2曲線 $y=f(x),\ y=g(x)$,及び 2直線 $x=a,\ x=b$ で囲まれた部分を $x$ 軸のまわりに1回転して得られる回転体の体積 $V$ は

\[\begin{align*} V&=\pi\int_a^b\!\!\{f(x)\}^2\,dx-\pi\int_a^b\!\!\{g(x)\}^2\,dx\\[5pt] &=\pi\int_a^b\!\!(f^2-g^2)\,dx\\[5pt] & (f,\,g\ \mbox{のあとの「} \,(x)\, \mbox{」を省略した.}) \end{align*}\]

2曲線で囲まれる回転体の体積

\[V=\pi\int_a^b\!\!(f^2-g^2)\,dx\]

注意

 $V=\pi\displaystyle\int_a^b\!\!(f-g)^2\,dx$ ではない!!

例題 円 $x^2+(y-2)^2=1$ の $x$ 軸まわりの回転体の体積 $V$ を求めよ.

こたえ

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補足

 $\displaystyle\int_{-1}^1\!\sqrt{1-x^2}\,dx=\frac\pi2$ の部分は積分を実行するのではなく,直ちに $\dfrac\pi2$ と答えたい.詳しくは こちら を参照.

12.3 領域が回転軸をまたぐ場合

 回転領域が回転軸をまたぐとき,短い方を回転して得られる部分は,長い方を回転して得られる部分にすっぽりと含まれる.
 例えば,$a\leqq x\leqq b$ において,2曲線 $y=f(x)$ と $y=g(x)$,及び2直線 $x=a,\ x=b$ で囲まれる部分に $x$ 軸があり,区間 $[a,\ c]$ で $|f(x)|\geqq|g(x)|$ ,区間 $[c,b]$ で $|f(x)|\leqq|g(x)|$ であるとき,$x$ 軸のまわりに回転して得られる回転体の体積は, \[\pi\int_a^c\!\!\{f(x)\}^2\,dx+\pi\int_c^b\!\!\{g(x)\}^2\,dx\] となる.

例題 $\dfrac\pi4\leqq x\leqq\dfrac54\pi$ で2曲線 $y=\sin x$ と $y=\cos x$ によって囲まれる部分を $x$ 軸のまわりに回転させてできる立体の体積 $V$ を求めよ.

こたえ

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12.4 $y$ 軸まわりの回転体

 図のような曲線 $y=f(x)$ と $y$ 軸,及び 2直線 $y=a,\ y=b$ とで囲まれる部分を $y$ 軸のまわりに1回転して得られる回転体の体積 $V$ は,$y$ 軸に垂直な平面で切った断面積が $\pi x^2$ であるから,次で与えられる:

${\boldsymbol y}$ 軸まわりの回転体の体積

\[V=\pi\int_a^b\!\!x^2\,dy\]

例題 曲線 $y=4-x^2$ と $x$ 軸,$y$ 軸とで囲まれた部分の $y$ 軸まわりの回転体の体積 $V$ を求めよ.

こたえ

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 上の例では $x^2$ を $y$ の式で簡単に表すことができた.($y=4-x^2\to x^2=4-y$)
 しかし,いつでもそのようなことが可能かといえば,そうとも限らない.
 $y=f(x)$ から $x^2$ を $y$ の式で表しにくいときは(また表しにくくなくても),積分変数を $y$ から $x$ に変換(置換積分)して次のように計算できる:

${\boldsymbol y}$ 軸方向から ${\boldsymbol x}$ 軸方向の積分へ

\[\pi\int_a^b\!\!x^2\,dy=\pi\int_\alpha^\beta\!\!x^2\frac{dy}{dx}\,dx\]  ただし,$y$ が $a$ から $b$ まで変化するとき,$x$ は $\alpha$ から $\beta$ まで変化する.

例題 曲線 $y=\cos x\ (0\leqq x\leqq\dfrac\pi2)$ と $x$ 軸,$y$ 軸で囲まれた部分の $y$ 軸まわりの回転体の体積 $V$ を求めよ.

こたえ

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12.5 単調ではない曲線の $y$ 軸まわりの回転体

 $f(x)$ が単調でなければ,$y$ 軸まわりの回転体の体積の計算はややこしい.

例題 曲線 $y=-x^2+2x$ と $x$ 軸とで囲まれた部分の $y$ 軸まわりの回転体の体積 $V$ を求めよ.

こたえ

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補足

 バウムクーヘン分割 という逃げ道もある.

12.6 一般の回転体

 考え方はこれまでと同じで,
回転軸に垂直な平面での切り口を考える
例題 曲線 $y=x^2$ と直線 $y=x$ で囲まれた部分を,直線 $y=x$ のまわりに 1 回転して得られる立体の体積 $V$ を求めよ.

こたえ

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12.7 媒介変数表示と体積

ポイント
媒介変数表示を生かして媒介変数で積分する.
例題 サイクロイド $\left\{\begin{array}{l}x=a(t-\sin t)\\ y=a(1-\cos t)\end{array}\right.\ (a>0,\ 0\leqq t\leqq 2\pi)$ と $x$ 軸で囲まれた部分について,$x$ 軸まわりの回転体の体積 $V$ を求めよ.

こたえ

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