このページにある内容は,こちらのスライドでわかり易く説明しています.

3.1 部分積分法

 積の導関数の公式により, \[\left\{f(x)g(x)\right\}’=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\] \[\therefore f(x)g'(x)=\left\{f(x)g(x)\right\}’-f'(x)g(x)\]  この両辺を積分して次を得る:

部分積分法 \[\underline{\int\!f(x)g'(x)dx}_{(*)}=f(x)g(x)-\underline{\int\!f'(x)g(x)dx}_{(**)}\]

補足

① 積の形の関数について,微分には一般的な公式があるのに対して,不定積分にはそれがない.部分積分法はその1つの解決法である.
② $(*)$より$(**)$の方が計算しやすい場合に用いる.

例1

\[\begin{align*} \int\!x\cos x\,dx&=\int\!x(\sin x)’dx\\ &=x\sin x-\int\!1\cdot\sin x\,dx\\ &=x\sin x+\cos x+C \end{align*}\]

例2

\[\begin{align*} \int\!\log x\,dx&=\int\!(x)’\log x\,dx\\ &=x\log x-\int\!dx\\ &=x\log x-x+C \end{align*}\]

\[\int\!\log x\,dx=x\log x-x+C\]