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高校数学ノート[総目次]

数学Ⅲ 第3章 積分法

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1.不定積分 無料           【ノート
2.置換積分法(不定積分) 無料    【ノート
3.部分積分法(不定積分) 無料    【ノート
4.定積分とその性質          【ノート
5.置換積分法(定積分)        【ノート
6.部分積分法(定積分)        【ノート
7.定積分と微分法           【ノート
8.定積分と和の極限          【ノート
9.定積分と不等式           【ノート
10. 定積分の応用(面積)       【ノート
11. 定積分の応用(体積)       【ノート
12. 定積分の応用(回転体の体積)   【ノート
※【ノート】はスライドの内容をまとめたものです.

3.部分積分法(不定積分)

3.1 部分積分法

 積の導関数の公式により, \[\left\{f(x)g(x)\right\}’=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\] \[\therefore f(x)g'(x)=\left\{f(x)g(x)\right\}’-f'(x)g(x)\]  この両辺を積分して次を得る:

部分積分法 \[\underline{\int\!f(x)g'(x)dx}_{(*)}=f(x)g(x)-\underline{\int\!f'(x)g(x)dx}_{(**)}\]

補足

① 積の形の関数について,微分には一般的な公式があるのに対して,不定積分にはそれがない.部分積分法はその1つの解決法である.
② $(*)$ より $(**)$ の方が計算しやすい場合に用いる.

例1

\[\begin{align*} \int\!x\cos x\,dx&=\int\!x(\sin x)’dx\\ &=x\sin x-\int\!1\cdot\sin x\,dx\\ &=x\sin x+\cos x+C \end{align*}\]

例2

\[\begin{align*} \int\!\log x\,dx&=\int\!(x)’\log x\,dx\\ &=x\log x-\int\!dx\\ &=x\log x-x+C \end{align*}\]

\[\int\!\log x\,dx=x\log x-x+C\]

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数学Ⅲ 第3章 積分法

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1.不定積分 無料           【ノート
2.置換積分法(不定積分) 無料    【ノート
3.部分積分法(不定積分) 無料    【ノート
4.定積分とその性質          【ノート
5.置換積分法(定積分)        【ノート
6.部分積分法(定積分)        【ノート
7.定積分と微分法           【ノート
8.定積分と和の極限          【ノート
9.定積分と不等式           【ノート
10. 定積分の応用(面積)       【ノート
11. 定積分の応用(体積)       【ノート
12. 定積分の応用(回転体の体積)   【ノート
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