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高校数学ノート[総目次]

数学Ⅲ 第3章 積分法

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6.部分積分法(定積分)

6.1 定積分の部分積分法

 $\{f(x)g(x)\}’=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$により, \[f(x)g'(x)=\{f(x)g(x)\}’-f'(x)g(x)\]  この両辺を $a$ から $b$ まで積分して次を得る:

定積分の部分積分法\[\int_a^b\!\!f(x)g'(x)\,dx=\Bigl[f(x)g(x)\Bigr]_a^b-\int_a^b\!\!f'(x)g(x)\,dx \]

例題 $\displaystyle\int_0^\pi\!\!e^x\cos x\,dx(=I$ とする)を求めよ.

\[\begin{align*} I&=\int_0^\pi\!\!e^x(\sin x)’\,dx\\ &=\Bigl[e^x\sin x\Bigr]_0^\pi-\int_0^\pi\!\!e^x\sin x\,dx\\ &=\Bigl[e^x\cos x\Bigr]_0^\pi-\int_0^\pi\!\!e^x\cos x\,dx \end{align*}\] \[\therefore I=(-e^\pi-1)-I\] \[\therefore \underline{I=-\frac{e^\pi+1}2}\]

補足

 次のようにも計算できる:

\[\begin{array}{lr} &(e^x\sin x)’=e^x(\sin x+\cos x)\\ +)&(e^x\cos x)’=e^x(\cos x-\sin x)\\\hline &\{e^x(\sin x+\cos x)\}’=2e^x\cos x \end{array}\] \[\therefore \left\{\frac12e^x(\sin x+\cos x)\right\}’=e^x\cos x\]  これは $\dfrac12e^x(\sin x+\cos x)$ が,$e^x\cos x$ の不定積分であることを意味するから, \[\begin{align*} \int_0^\pi\!\!e^x\cos x\,dx&=\Bigl[\frac12e^x(\sin x+\cos x)\Bigr]_0^\pi\\ &=\underline{-\frac{e^\pi+1}2} \end{align*}\]


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