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高校数学ノート[総目次]

数学Ⅲ 第3章 積分法

スライド↓        ノート↓
1.不定積分 無料           【ノート
2.置換積分法(不定積分) 無料    【ノート
3.部分積分法(不定積分) 無料    【ノート
4.定積分とその性質          【ノート
5.置換積分法(定積分)        【ノート
6.部分積分法(定積分)        【ノート
7.定積分と微分法           【ノート
8.定積分と和の極限          【ノート
9.定積分と不等式           【ノート
10. 定積分の応用(面積)       【ノート
11. 定積分の応用(体積)       【ノート
12. 定積分の応用(回転体の体積)   【ノート
※【ノート】はスライドの内容をまとめたものです.

6.部分積分法(定積分)

6.1 定積分の部分積分法

 $\{f(x)g(x)\}’=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$により, \[f(x)g'(x)=\{f(x)g(x)\}’-f'(x)g(x)\]  この両辺を $a$ から $b$ まで積分して次を得る:

定積分の部分積分法\[\int_a^b\!\!f(x)g'(x)\,dx=\Bigl[f(x)g(x)\Bigr]_a^b-\int_a^b\!\!f'(x)g(x)\,dx \]

例1

$\displaystyle\int_0^\pi\!\!e^x\cos x\,dx(=I$ とする)を求めよ.

\[\begin{align*} I&=\int_0^\pi\!\!e^x(\sin x)’\,dx\\ &=\Bigl[e^x\sin x\Bigr]_0^\pi-\int_0^\pi\!\!e^x\sin x\,dx\\ &=\Bigl[e^x\cos x\Bigr]_0^\pi-\int_0^\pi\!\!e^x\cos x\,dx \end{align*}\] \[\therefore I=(-e^\pi-1)-I\] \[\therefore \underline{I=-\frac{e^\pi+1}2}\]

補足

 次のようにも計算できる:

\[\begin{array}{lr} &(e^x\sin x)’=e^x(\sin x+\cos x)\\ +)&(e^x\cos x)’=e^x(\cos x-\sin x)\\\hline &\{e^x(\sin x+\cos x)\}’=2e^x\cos x \end{array}\] \[\therefore \left\{\frac12e^x(\sin x+\cos x)\right\}’=e^x\cos x\]  これは $\dfrac12e^x(\sin x+\cos x)$ が,$e^x\cos x$ の不定積分であることを意味するから, \[\begin{align*} \int_0^\pi\!\!e^x\cos x\,dx&=\Bigl[\frac12e^x(\sin x+\cos x)\Bigr]_0^\pi\\ &=\underline{-\frac{e^\pi+1}2} \end{align*}\]


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11. 定積分の応用(体積)       【ノート
12. 定積分の応用(回転体の体積)   【ノート
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