このページにある内容は,こちらのスライドでわかり易く説明しています.

高校数学ノート[総目次]

数学Ⅲ 第3章 積分法

スライド↓        ノート↓
1.不定積分 無料           【ノート
2.置換積分法(不定積分) 無料    【ノート
3.部分積分法(不定積分) 無料    【ノート
4.定積分とその性質          【ノート
5.置換積分法(定積分)        【ノート
6.部分積分法(定積分)        【ノート
7.定積分と微分法           【ノート
8.定積分と和の極限          【ノート
9.定積分と不等式           【ノート
10. 定積分の応用(面積)       【ノート
11. 定積分の応用(体積)       【ノート
12. 定積分の応用(回転体の体積)   【ノート
※【ノート】はスライドの内容をまとめたものです.

1.不定積分

1.1 不定積分

 関数 $f(x)$ について,微分すると $f(x)$ になる関数,即ち \[F'(x)=f(x)\] を満たす関数 $F(x)$ を,$f(x)$ の不定積分といい, \[\int\!\!f(x)dx\] で表す.

 $F(x)$ が $f(x)$ の不定積分ならば,$F(x)+C\ (\,C$ は定数)もまた $f(x)$ の不定積分であるから,一般に次が成り立つ:

\[\int\!\!f(x)\,dx=F(x)+C\]

補足

 $C$ を積分定数という.今後この断りを省略することがある.

1.2 $x^\alpha$の不定積分

\[\begin{align*} &\alpha\neq-1\mbox{のとき,}\int\!\!x^\alpha\, dx=\frac1{\alpha+1}x^{\alpha+1}+C\\ &\alpha=-1\mbox{のとき,}\int\!\!x^{-1}dx=\int\!\!\frac{dx}x=\log|x|+C \end{align*}\]

1.3 不定積分の性質

\[\begin{align*} &\int\!kf(x)dx=k\int\!f(x)dx\ (k\ \mbox{は定数})\\ &\int\!\{f(x)+g(x)\}dx=\int\!f(x)dx+\int\!g(x)dx \end{align*}\]

1.4 三角関数の不定積分

\[\begin{align*} &\int\!\!\sin x\,dx=-\cos x+C\\ &\int\!\!\cos x\,dx=\sin x+C\\ &\int\!\!\frac1{\cos^2x}dx=\tan x+C\\ &\int\!\!\frac1{\sin^2x}dx=-\frac1{\tan x}+C \end{align*}\]

証明

 右辺を微分して,左辺の被積分関数になることを確かめる. \[\begin{align*} &(\tan x)’=\left(\frac{\sin x}{\cos x}\right)’=\frac{\cos^2x\!+\!\sin^2x}{\cos^2x}=\frac1{\cos^2x}\\ &\left(-\frac1{\tan x}\right)’=\frac{(\tan x)’}{\tan^2x}=\frac{\frac1{\cos^2x}}{\tan^2x}=\frac1{\sin^2x} \end{align*}\]

補足

 $\left(\dfrac1{\tan x}\right)’$ は $\left(\dfrac{\cos x}{\sin x}\right)’$ からも導けるが,厳密には $\dfrac1{\tan x}$ と $\dfrac{\cos x}{\sin x}$ は等しくない.
 (後者の方が定義域が広い.例えば $x=\dfrac\pi2$ )

1.5 指数関数の不定積分

\[\begin{align*} &\int\!e^xdx=e^x+C\\ &\int\!a^xdx=\frac{a^x}{\log a}+C \end{align*}\]

証明

\[\left(\frac{a^x}{\log a}\right)’=\frac{a^x\log a}{\log a}=a^x\]


高校数学ノート[総目次]

数学Ⅲ 第3章 積分法

スライド↓        ノート↓
1.不定積分 無料           【ノート
2.置換積分法(不定積分) 無料    【ノート
3.部分積分法(不定積分) 無料    【ノート
4.定積分とその性質          【ノート
5.置換積分法(定積分)        【ノート
6.部分積分法(定積分)        【ノート
7.定積分と微分法           【ノート
8.定積分と和の極限          【ノート
9.定積分と不等式           【ノート
10. 定積分の応用(面積)       【ノート
11. 定積分の応用(体積)       【ノート
12. 定積分の応用(回転体の体積)   【ノート
※【ノート】はスライドの内容をまとめたものです.