1. 不定積分(ノート)
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数学Ⅲ　第3章　積分法

	スライド	ノート
1. 不定積分	[無料]
2. 置換積分法（不定積分）	[無料]
3. 部分積分法（不定積分）	[無料]
4. 定積分とその性質	[会員]
5. 置換積分法（定積分）	[会員]
6. 部分積分法（定積分）	[会員]
7. 定積分と微分法	[会員]
8. 定積分と和の極限	[会員]
9. 定積分と不等式	[会員]
10. 定積分の応用（面積）	[会員]
11. 定積分の応用（体積）	[会員]
12. 定積分の応用（回転体の体積）	[会員]
13. 曲線の長さ

1．不定積分

1.1 不定積分

　関数 $f(x)$ について，微分すると $f(x)$ になる関数，即ち \[F'(x)=f(x)\] を満たす関数 $F(x)$ を，$f(x)$ の不定積分といい， \[\int\!\!f(x)dx\] で表す．

　$F(x)$ が $f(x)$ の不定積分ならば，$F(x)+C\ (\,C$ は定数)もまた $f(x)$ の不定積分であるから，一般に次が成り立つ：

\[\int\!\!f(x)\,dx=F(x)+C\]

補足

　$C$ を積分定数という．今後この断りを省略することがある．

1.2 $x^\alpha$の不定積分

\[\begin{align*} &\alpha\neq-1\mbox{のとき，}\int\!\!x^\alpha\, dx=\frac1{\alpha+1}x^{\alpha+1}+C\\ &\alpha=-1\mbox{のとき，}\int\!\!x^{-1}dx=\int\!\!\frac{dx}x=\log|x|+C \end{align*}\]

1.3 不定積分の性質

\[\begin{align*} &\int\!kf(x)dx=k\int\!f(x)dx\ (k\ \mbox{は定数})\\ &\int\!\{f(x)+g(x)\}dx=\int\!f(x)dx+\int\!g(x)dx \end{align*}\]

1.4 三角関数の不定積分

\[\begin{align*} &\int\!\!\sin x\,dx=-\cos x+C\\ &\int\!\!\cos x\,dx=\sin x+C\\ &\int\!\!\frac1{\cos^2x}dx=\tan x+C\\ &\int\!\!\frac1{\sin^2x}dx=-\frac1{\tan x}+C \end{align*}\]

証明

　右辺を微分して，左辺の被積分関数になることを確かめる． \[\begin{align*} &(\tan x)’=\left(\frac{\sin x}{\cos x}\right)’=\frac{\cos^2x\!+\!\sin^2x}{\cos^2x}=\frac1{\cos^2x}\\ &\left(-\frac1{\tan x}\right)’=\frac{(\tan x)’}{\tan^2x}=\frac{\frac1{\cos^2x}}{\tan^2x}=\frac1{\sin^2x} \end{align*}\]

■

補足

　$\left(\dfrac1{\tan x}\right)’$ は $\left(\dfrac{\cos x}{\sin x}\right)’$ からも導けるが，厳密には $\dfrac1{\tan x}$ と $\dfrac{\cos x}{\sin x}$ は等しくない．
　(後者の方が定義域が広い．例えば $x=\dfrac\pi2$ )

※三角関数の不定積分について，先の学習や発展的なものまでまとめたものがこちら

1.5 指数関数の不定積分

\[\begin{align*} &\int\!e^xdx=e^x+C\\ &\int\!a^xdx=\frac{a^x}{\log a}+C \end{align*}\]

証明

\[\left(\frac{a^x}{\log a}\right)’=\frac{a^x\log a}{\log a}=a^x\]

■

補足

　対数関数の不定積分については，部分積分法を学んでからになる．詳しくはこちら

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