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1.1 不定積分

 関数$f(x)$について,微分すると$f(x)$になる関数,即ち \[F'(x)=f(x)\] を満たす関数$F(x)$を,$f(x)$の不定積分といい, \[\int\!\!f(x)dx\] で表す.

 $F(x)$が$f(x)$の不定積分ならば,$F(x)+C\ (C$は定数)もまた$f(x)$の不定積分であるから,一般に次が成り立つ:

\[\int\!\!f(x)\,dx=F(x)+C\]

補足

 $C$を積分定数という.今後この断りを省略することがある.

1.2 $x^\alpha$の不定積分

\[\begin{align*} &\alpha\neq-1\mbox{のとき,}\int\!\!x^\alpha\, dx=\frac1{\alpha+1}x^{\alpha+1}+C\\ &\alpha=-1\mbox{のとき,}\int\!\!x^{-1}dx=\int\!\!\frac{dx}x=\log|x|+C \end{align*}\]

1.3 不定積分の性質

\[\begin{align*} &\int\!kf(x)dx=k\int\!f(x)dx\ (k\ \mbox{は定数})\\ &\int\!\{f(x)+g(x)\}dx=\int\!f(x)dx+\int\!g(x)dx \end{align*}\]

1.4 三角関数の不定積分

\[\begin{align*} &\int\!\!\sin x\,dx=-\cos x+C\\ &\int\!\!\cos x\,dx=\sin x+C\\ &\int\!\!\frac1{\cos^2x}dx=\tan x+C\\ &\int\!\!\frac1{\sin^2x}dx=-\frac1{\tan x}+C \end{align*}\]

証明

 右辺を微分して,左辺の被積分関数になることを確かめる. \[\begin{align*} &(\tan x)’=\left(\frac{\sin x}{\cos x}\right)’=\frac{\cos^2x\!+\!\sin^2x}{\cos^2x}=\frac1{\cos^2x}\\ &\left(-\frac1{\tan x}\right)’=\frac{(\tan x)’}{\tan^2x}=\frac{\frac1{\cos^2x}}{\tan^2x}=\frac1{\sin^2x} \end{align*}\]

補足

 $\left(\dfrac1{\tan x}\right)’$は$\left(\dfrac{\cos x}{\sin x}\right)’$からも導けるが,厳密には$\dfrac1{\tan x}$と$\dfrac{\cos x}{\sin x}$は等しくない.
 (後者の方が定義域が広い.例えば$x=\dfrac\pi2$)

1.5 指数関数の不定積分

\[\begin{align*} &\int\!e^xdx=e^x+C\\ &\int\!a^xdx=\frac{a^x}{\log a}+C \end{align*}\]

証明

\[\left(\frac{a^x}{\log a}\right)’=\frac{a^x\log a}{\log a}=a^x\]