8. 定積分と和の極限(ノート)
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数学Ⅲ　第3章　積分法

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13. 曲線の長さ

8．定積分と和の極限

8.1 区分求積法

　関数 $f(x)$ は区間 $[a,b]$ で連続，かつ $f(x)\geqq 0$ とする．この区間を $n$ 等分して，その分点を順に \[x_0(=a),x_1,x_2,\cdots ,x_n(=b)\] とおき，各区間の幅を $\Delta x\left(=\dfrac{b-a}n\right)$ とおく．曲線 $y=f(x)$ と $x$ 軸，及び2直線 $x=x_{k-1},x=x_k\ (k=1,2,\cdots,n)$ とで囲まれる部分の面積は，次の長方形領域の面積 $\Delta S_k$ で近似される： \[\Delta S_k=f(x_k)\Delta x\] 　よって曲線 $y=f(x)$ と $x$ 軸，及び2直線 $x=a,x=b$ で囲まれる部分の面積 $S$ は，次の①式で近似される： \[S\fallingdotseq\sum_{k=1}^n\Delta S_k=\sum_{k=1}^nf(x_k)\Delta x\ \ \cdots\mbox{①}\] 　ここで $n\to\infty$ として分割をどんどん細かくしていく$(\Delta x\to 0)$と，(①の誤差)$\to 0$ となるであろう．即ち \[S=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^nf(x_k)\Delta x\] となる．$S=\displaystyle\int_a^b\!\!f(x)\,dx$ であったから次が成り立つ：

\[ \lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n f(x_k)\Delta x=\int_a^b\!\!f(x)dx \]

補足1

　上の囲みの式を，和をとる番号を $k=0$ からにして， \[\lim_{n\to\infty}\sum_{k=0}^{n-1}f(x_k)\Delta x=\int_a^b\!\!f(x)\,dx\] としてもよい．

補足2

　特に $a=0$ のとき， \[x_k=\frac bnk,\ \ \Delta x=\frac bn\] であるから，

定積分と和の極限の公式(Ⅰ) \[\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\frac bnf\left(\frac{kb}n\right)=\int_0^b\!\!f(x)\,dx\]

　更に $b=1$ のとき，

定積分と和の極限の公式(Ⅱ) \[\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\frac 1n f\left(\frac kn \right)=\int_0^1\!\!f(x)\,dx\]

例題1 　次の極限を求めよ． \[\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\frac\pi n\sin\frac{k\pi}n\ \ \cdots\mbox{①}\]

やり方その1　[ 公式(Ⅰ)に帰着させる ]
\[\begin{align*} &\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\frac \pi n\sin\frac{k\pi}n\hspace{6mm}\cdots\mbox{①}\\ &\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\frac bnf\left(\frac{kb}n\right)\ \ \cdots\mbox{公式(Ⅰ)} \end{align*}\]

　①式と公式(Ⅰ)を比較すると， \[b=\pi,\ \ f(x)=\sin x\] であるから， \[\begin{align*} \mbox{①}&=\int_0^\pi\!\!\sin x\,dx\\ &=\Bigl[-\cos x\Bigr]_0^\pi\\ &=\underline{2} \end{align*}\]

やり方その2　[ 公式(Ⅱ)に帰着させる ]
ステップ1　$\dfrac1n$ を作る． \[\mbox{①}=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\frac1n\cdot\pi\sin\left(\frac{k\pi}n\right)\] ステップ2　$\dfrac kn$ を作る． \[\mbox{①}=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\frac1n\cdot\pi\sin\left(\pi\times\frac kn\right)\] ステップ3　$f(x)$ を決定する．($\dfrac kn$ を $x$ に置き換え) \[f(x)=\pi\sin \pi x\] 以上により， \[\mbox{①}=\int_0^1\!\!\pi\sin\pi x\,dx=\Bigl[-\cos \pi x\Bigr]_0^1=\underline{2}\]

例題2 　次の極限を求めよ． \[\lim_{n\to\infty}\left(\frac1{n+1}+\frac1{n+2}+\cdots+\frac1{2n}\right)\ \ \cdots\mbox{①}\]

\[\begin{align*} \mbox{①}&=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\frac1{n+k}\ \ \leftarrow\ \sum\mbox{で表す}\\ &=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\frac1n\cdot\frac n{n+k}\ \ \leftarrow\ \frac 1n\mbox{を作る(ステップ1)}\\ &=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\frac1n\cdot\frac 1{1+\frac kn}\ \ \leftarrow\ \frac kn\mbox{を作る(ステップ2)}\\ &=\int_0^1\!\!\frac{dx}{1+x}\hspace{17mm} \leftarrow\ f(x)\mbox{の決定(ステップ3)}\\ &=\Bigl[\log(1+x)\Bigr]_0^1 \hspace{10mm} (\because\mbox{公式(Ⅱ))}\\ &=\underline{\log 2} \end{align*}\]

例題2の別解

　$\displaystyle\sum_{k=1}^n\dfrac1{n+k}$ を次のような長方形の面積の総和として捉える：

　　これらの長方形全体のうち，斜線部分の面積を $s_n$ とすれば，

\[\begin{align*} \sum_{k=1}^n\frac1{n+k}&=\int_1^n\frac{dx}{n+x}+s_n\\[5pt] &=\Bigl[\log(n+x)\Bigr]_1^n+s_n\\[5pt] &=\log\frac{2n}{n+1}+s_n\\[5pt] &=\log\frac2{1+\frac1n}+s_n \end{align*}\]

であり，$\underline{0<s_n<\dfrac1{n+1}}$ (下の注参照)により，

\[s_n\to0\ \ (n\to\infty)\]

であることに注意すると，　

(求値) $\displaystyle=\lim_{n\to\infty}\left(\log\frac2{1+\frac1n}+s_n\right)=\underline{\boldsymbol{\log2}}$

注　斜線部分をすべて $y$ 軸に寄せてくると，縦 $\dfrac1{n+1}$，横 $1$ の長方形の中にすべて収まる．

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