このページにある内容は,こちらのスライド(会員向け)でわかり易く説明しています.

高校数学[総目次]

数学Ⅲ 第3章 積分法

  スライド ノート
1. 不定積分 [無料]  
2. 置換積分法(不定積分) [無料]  
3. 部分積分法(不定積分) [無料]  
4. 定積分とその性質 [会員]  
5. 置換積分法(定積分) [会員]  
6. 部分積分法(定積分) [会員]  
7. 定積分と微分法 [会員]  
8. 定積分と和の極限 [会員]  
9. 定積分と不等式 [会員]  
10. 定積分の応用(面積) [会員]  
11. 定積分の応用(体積) [会員]  
12. 定積分の応用(回転体の体積) [会員]  
13. 曲線の長さ    

10.定積分の応用(面積)

10.1 面積

閉区間 $[a,\ b]$ で連続な関数 $f(x)$ と, $x$ 軸,及び2直線 $x=a,\ x=b$ とで囲まれる部分の面積は \[\int_a^b\!\!|f(x)|dx\]

例題1  半径 $a$ の円の面積 $S$ を求めよ.

 解答例を表示する >

補足

 $\displaystyle\int_\alpha^\beta\!\!\sqrt{a^2-x^2\ }\,dx$ 型の積分の計算では,置換積分を行うのではなく,円の面積に帰着させるのが実践的:

 $a>0$ のとき, \[\begin{align*} &\int_0^a\!\!\sqrt{a^2-x^2}\,dx=\frac{\pi a^2}4\ \ (\mbox{円の}1/4\mbox{の面積})\\[5pt] &\int_{-a}^a\!\!\sqrt{a^2-x^2}\,dx=\frac{\pi a^2}2\ \ (\mbox{半円の面積})\\[5pt] &\int_{-\frac a2}^a\!\!\sqrt{a^2-x^2}\,dx=\frac{\sqrt3 a^2}8+\frac{\pi a^2}3\\ \end{align*}\]

(3番目の式は,右辺第1項が直角三角形の面積,第2項が中心角 120$^\circ$ の扇形の面積)

例題2  楕円 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\ (a>0,b>0)$ の面積 $S$ を求めよ.

 解答例を表示する >

補足

 $S=\pi ab$ は半径 $a$ の円の面積の $\dfrac ba$ 倍となっているが, \[y=\frac ba\sqrt{a^2-x^2}\] という式を見れば,各 $x$ に対して $y$ の値が,常に円の場合 $(\sqrt{a^2-x^2}\,)$ の $\dfrac ba$ 倍となっているところからも納得できる.

10.2 2曲線に囲まれた部分の面積

 2曲線 $y=f(x)$と$y=g(x)$,及び2直線 $x=a,\ x=b$ (ただし,$a<b$)で囲まれる部分の面積は \[ \int_a^b\!\!|f(x)-g(x)|dx \]

例題  曲線 $y=x^2\,(-2\leqq x\leqq 1)$ と3直線 $y=x+2,\ x=-2,\ x=1$ で囲まれる部分の面積 $S$ を求めよ.

 解答例を表示する >

10.3 媒介変数(パラメータ)表示と面積

ポイント  媒介変数(パラメータ)を消去せず,そのままの形を生かす: \[\int\!\!y\,dx=\int\!\!y\frac{dx}{dt}\,dt\ \ (\mbox{置換積分})\]

例題1  半径1の円の面積 $S$ を求めよ.

 解答例を表示する >

例題2  曲線 $\left\{\begin{array}{l}x=2\sqrt2\cos\theta\\ y=\dfrac 12\sin 2\theta\end{array}\right. \ (0\leqq \theta\leqq \dfrac \pi 2)$ と $x$ 軸とで囲まれた部分の面積$S$を求めよ.

 解答例を表示する >

このページで疑問は解決されましたか?
 こちらから数学に関するご質問・ご要望をお寄せください。

高校数学[総目次]

数学Ⅲ 第3章 積分法

  スライド ノート
1. 不定積分 [無料]  
2. 置換積分法(不定積分) [無料]  
3. 部分積分法(不定積分) [無料]  
4. 定積分とその性質 [会員]  
5. 置換積分法(定積分) [会員]  
6. 部分積分法(定積分) [会員]  
7. 定積分と微分法 [会員]  
8. 定積分と和の極限 [会員]  
9. 定積分と不等式 [会員]  
10. 定積分の応用(面積) [会員]  
11. 定積分の応用(体積) [会員]  
12. 定積分の応用(回転体の体積) [会員]  
13. 曲線の長さ