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高校数学ノート[総目次]

数学Ⅲ 第3章 積分法

スライド↓        ノート↓
1.不定積分 無料           【ノート
2.置換積分法(不定積分) 無料    【ノート
3.部分積分法(不定積分) 無料    【ノート
4.定積分とその性質          【ノート
5.置換積分法(定積分)        【ノート
6.部分積分法(定積分)        【ノート
7.定積分と微分法           【ノート
8.定積分と和の極限          【ノート
9.定積分と不等式           【ノート
10. 定積分の応用(面積)       【ノート
11. 定積分の応用(体積)       【ノート
12. 定積分の応用(回転体の体積)   【ノート
※【ノート】はスライドの内容をまとめたものです.

10.定積分の応用(面積)

10.1 面積

閉区間 $[a,\ b]$ で連続な関数 $f(x)$ と, $x$ 軸,及び2直線 $x=a,\ x=b$ とで囲まれる部分の面積は \[\int_a^b\!\!|f(x)|dx\]

例1

 半径 $a$ の円の面積 $S$ を求めよ.

 $x^2+y^2=a^2$ を $y$ について解くと, \[y=\left\{\begin{array}{ll} \sqrt{a^2-x^2}&(\mbox{半円の上側})\\ -\sqrt{a^2-x^2}&(\mbox{半円の下側})\\ \end{array}\right.\]  従って対称性により, \[S=4\int_0^a\!\!\sqrt{a^2-x^2}\,dx\]  $x=a\cos\theta$ とおくと, \[dx=-a\sin\theta\,d\theta,\ \ \begin{array}{c|c} x&0\to 1\\\hline \theta&\frac\pi2\to 0 \end{array},\] \[\sqrt{a^2-x^2}=\sqrt{a^2(1-\cos^2\theta)}=|a\sin\theta|=a\sin\theta\] \[(\because a>0.\ \ \mbox{また,}0\leqq\theta\leqq\frac\pi2\mbox{で}\sin\theta\geqq0)\] \[\begin{align*} \therefore S&=4\int_{\frac\pi2}^0a\sin\theta\cdot(-a\sin\theta)\,d\theta\\ &=4a^2\int_0^{\frac\pi2}\sin^2\theta\,d\theta\\ &=4a^2\int_0^{\frac\pi2}\frac{1-\cos2\theta}2\,d\theta\\ &=2a^2\left[\theta-\frac12\sin2\theta\right]_0^{\frac\pi2}\\ &=\underline{\pi a^2} \end{align*}\]

例1の補足

 $\displaystyle\int_\alpha^\beta\!\!\sqrt{a^2-x^2\ }\,dx$ 型の積分の計算では,置換積分を行うのではなく,円の面積に帰着させるのが実践的:

 $a>0$ のとき, \[\begin{align*} &\int_0^a\!\!\sqrt{a^2-x^2}\,dx=\frac{\pi a^2}4\ \ (\mbox{円の}1/4\mbox{の面積})\\ &\int_{-a}^a\!\!\sqrt{a^2-x^2}\,dx=\frac{\pi a^2}2\ \ (\mbox{半円の面積})\\ &\int_{-\frac a2}^a\!\!\sqrt{a^2-x^2}\,dx=\frac{\sqrt3 a^2}8+\frac{\pi a^2}3\\ \end{align*}\]

(3番目の式は,右辺第1項が直角三角形の面積,第2項が中心角 120$^\circ$ の扇形の面積)

例2

 楕円 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\ (a>0,b>0)$ の面積 $S$ を求めよ.

 楕円の式を $y$ について解くと, \[y=\left\{\begin{array}{ll} \ \ \dfrac ba\sqrt{a^2-x^2}&(\mbox{楕円の上半分})\\ -\dfrac ba\sqrt{a^2-x^2}&(\mbox{楕円の下半分}) \end{array}\right.\]  対称性により,$x\geqq0,\ y\geqq0$ の部分の4倍が求めるものであるから, \[\begin{align*} S&=4\int_0^a\!\!\frac ba\sqrt{a^2-x^2}\,dx\\ &=\frac{4b}a\underline{\int_0^a\!\!\sqrt{a^2-x^2}\,dx} \end{align*}\]  下線部分の積分は半径 $a$ の円の4分の1の面積に等しいから, \[S=\frac{4b}a\cdot\frac{\pi a^2}4=\underline{\pi ab}\]

例2の補足

 $S=\pi ab$ は半径 $a$ の円の面積の $\dfrac ba$ 倍となっているが, \[y=\frac ba\sqrt{a^2-x^2}\] という式を見れば,各 $x$ に対して $y$ の値が,常に円の場合 $(\sqrt{a^2-x^2}\,)$ の $\dfrac ba$ 倍となっているところからも納得できる.

10.2 2曲線に囲まれた部分の面積

 2曲線 $y=f(x)$と$y=g(x)$,及び2直線 $x=a,\ x=b$ (ただし,$a<b$)で囲まれる部分の面積は \[ \int_a^b\!\!|f(x)-g(x)|dx \]

 曲線 $y=x^2\,(-2\leqq x\leqq 1)$ と3直線 $y=x+2,\ x=-2,\ x=1$ で囲まれる部分の面積 $S$ を求めよ.

\[\begin{align*} S&=\int_{-2}^1\!\!|x^2-(x+2)|\,dx\\ &=\int_{-2}^{-1}\!\{x^2-(x+2)\}\,dx-\int_{-1}^1\!\!\{x^2-(x+2)\}\,dx \end{align*}\]  ここで,$F(x)=\dfrac13x^3-\dfrac12x^2-2x$ とおくと, \[\begin{align*} S&=\Bigl[F(x)\Bigr]_{-2}^{-1}-\Bigl[F(x)\Bigr]_{-1}^1\\ &=2F(-1)-F(-2)-F(1)\\ &=\cdots=\underline{\frac{31}6} \end{align*}\]

10.3 媒介変数(パラメータ)表示と面積

ポイント  媒介変数(パラメータ)を消去せず,そのままの形を生かす: \[\int\!\!y\,dx=\int\!\!y\frac{dx}{dt}\,dt\ \ (\mbox{置換積分})\]

例1

 半径1の円の面積 $S$ を求めよ.

 円周上の点の座標 $(x,y)$ は,パラメータ $\theta$ を用いて \[\left\{\begin{array}{l} x=\cos\theta\\ y=\sin\theta \end{array}\right.\] と表されるから,対称性を考慮すると, \[S=4\int_0^1\!\!y\,dx=4\int_0^1\!\!\sin\theta\,dx\] (誤1)  $\displaystyle S=\Bigl[-\cos\theta\Bigr]_0^1$ (??)
    ($x$ ではなく,$\theta$ で積分してしまっている)
(誤2)  $\displaystyle S=4\sin\theta\int_0^1\!\!dx$ (??)
    ($x=\cos\theta$ だから,$\sin\theta$ は定数ではない)
(正)  $\ x=\cos\theta$より, \[dx=-\sin\theta\,d\theta,\ \ \begin{array}{c|c} x&0\to 1\\\hline \theta&\frac\pi2\to 0 \end{array}\]   であるから, \[\begin{align*} S&=4\int_{\frac\pi2}^0\!\!\sin\theta\cdot(-\sin\theta)\,d\theta\\ &=4\int_0^{\frac\pi2}\!\!\sin^2\theta\,d\theta\\ &=4\int_0^{\frac\pi2}\!\!\frac{1-\cos2\theta}2 d\theta\\ &=2\Bigl[\theta-\frac12\sin2\theta\Bigr]_0^{\frac\pi2}\\ &=\underline{\pi} \end{align*}\]

例2

 曲線 $\left\{\begin{array}{l}x=2\sqrt2\cos\theta\\ y=\dfrac 12\sin 2\theta\end{array}\right. \ (0\leqq \theta\leqq \dfrac \pi 2)$ と $x$ 軸とで囲まれた部分の面積$S$を求めよ.

\[\begin{align*} &\frac{dx}{dt}=-2\sqrt2\sin\theta\ \ (\leqq0)\\ &\frac{dy}{dt}=\cos2\theta \end{align*}\]  よって,$\theta$ が0から $\dfrac\pi2$ まで変化したときの $x,y$ の変化は次のようになる:

 従って曲線の概形は次のようになる:

 従って, \[\begin{align*} S&=\int_0^{2\sqrt2}\!\!y\,dx\\ &=\int_{\frac\pi2}^0\!\frac12\sin2\theta\cdot(-2\sqrt2\sin\theta)\,d\theta\\ &=\sqrt2\int_0^{\frac\pi2}\sin2\theta\sin\theta\,d\theta\\ &=\cdots=\underline{\frac{2\sqrt2}3} \end{align*}\]


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