高校数学ノート[総目次]

数学Ⅲ 第3章 積分法

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13. 曲線の長さ    

13.曲線の長さ

13.1 媒介変数表示された曲線の長さ

 曲線が,媒介変数 $t$ を用いて

\[\left\{ \begin{array}{l} x=f(t)\\[5pt] y=g(t)\end{array}\right.\ \ \ (\alpha\leqq t\leqq\beta) \]

で表されているとする.ただし,$f(t),\ g(t)$ の導関数は連続とする.

 この曲線の長さ $L$ は次で表される:

曲線の長さ \[\begin{align*} L&=\int_\alpha^\beta\!\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2}\,dt\\[5pt] &=\int_\alpha^\beta\!\sqrt{\{f(t)\}^2+\{g(t)\}^2}\,dt \end{align*}\]

説明

 点AからPまでの長さを $s(t)$ とすると,$s(t)$ は $t$ の増加関数である.$t$ の増分 $\Delta t$ に対する $s$,$x$,$y$ の増分をそれぞれ $\Delta s$,$\Delta x$,$\Delta y$,とすると,三平方の定理により

\[ \Delta s\fallingdotseq\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2} \]

 $\Delta s$ と $\Delta t$ は同符号だから,

$\dfrac{\Delta s}{\Delta t}\fallingdotseq\sqrt{\left(\dfrac{\Delta x}{\Delta t}\right)^2+\left(\dfrac{\Delta y}{\Delta t}\right)^2}$  $\cdots$ ①

 ここで,$\Delta t\to 0$ とすると,

\[\begin{align*} \lim_{\Delta t\to 0}\frac{\Delta s}{\Delta t}&=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{s(t+\Delta t)-s(t)}{\Delta t}=\frac{ds}{dt}\Bigl(=s'(t)\Bigr)\\[5pt] \lim_{\Delta t\to 0}\frac{\Delta x}{\Delta t}&=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{f(t+\Delta t)-f(t)}{\Delta t}=\frac{dx}{dt}\Bigl(=f'(t)\Bigr)\\[5pt] \lim_{\Delta t\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta t}&=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{g(t+\Delta t)-g(t)}{\Delta t}=\frac{dy}{dt}\Bigl(=g'(t)\Bigr) \end{align*}\]

であり,このとき①の両辺の差は0に近付く* (下の参照)から,

\[ \frac{ds}{dt}=\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2} \]

即ち

$\therefore s'(t)=\sqrt{\{f'(t)\}^2+\{g'(t)\}^2}$

となる.

(注) この部分の詳細な議論はこちら

 この式の両辺を $\alpha$ から $\beta$ まで積分して

$\displaystyle\int_\alpha^\beta s'(t)\,dt=\int_\alpha^\beta\!\sqrt{\{f'(t)\}^2+\{g'(t)\}^2}\,dt\ \ \cdots$ ②

を得る.左辺は,

\[\begin{align*} \int_\alpha^\beta s'(t)\,dt&= \Bigl[s(t)\Bigr]_\alpha^\beta\\[5pt] &=s(\beta)-s(\alpha) \end{align*}\]

となり,$s(t)$ の定義から $s(\alpha)=0$,そして $s(\beta)=L$ であるから,②は

\[L=\int_\alpha^\beta\!\sqrt{\{f'(t)\}^2+\{g'(t)\}^2}\,dt\]

例題 $a>0$ とする.次のサイクロイド曲線の長さ $L$ を求めよ. \[\left\{\begin{array}{l} x=a(t-\sin t)\\[5pt] y=a(1-\cos t) \end{array}\right.\ \ \ (0\leqq t\leqq 2\pi)\]

こたえ

 $\dfrac{dx}{dt}=a(1-\cos t)$,$\dfrac{dy}{dt}=a\sin t$ により,

\[\begin{align*} \left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2&=a^2\{(1-\cos t)^2+\sin^2t\}\\[5pt] &=2a^2(1-\cos t)\\[5pt] &=4a^2\cdot\frac{1-\cos t}2\\[5pt] &=4a^2\sin^2\frac t2 \end{align*}\]

 よって,

\[\begin{align*} \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2}&=\sqrt{4a^2\sin^2\frac t2}\\[5pt] &=2a\left|\sin\frac t2\right|\\[5pt] &=2a\sin\frac t2\ \ (\because 0\leqq\frac t2\leqq\pi) \end{align*}\]

となるから,

\[\begin{align*} L&=\int_0^{2\pi}2a\sin\frac t2\,dt\\[5pt] &=\left[-4a\cos\frac t2 \right]_0^{2\pi}\\[5pt] &=-4a(\cos\pi-\cos 0)\\[5pt] &=\underline{{\boldsymbol 8a}} \end{align*}\]

13.2 $y\!=\!f(x)$ で表された曲線の長さ

 曲線 $y=f(x)\ (a\leqq x\leqq b)$ のとき,

\[\left\{\begin{array}{l}x=t\\[5pt] y=f(t) \end{array}\right.\ \ (a\leqq t\leqq b)\]

と考えると,

\[\frac{dx}{dt}=1,\ \ \frac{dy}{dt}=f'(t)\]

であるから,この曲線の長さ $L$ は

\[L=\int_a^b\sqrt{1+{f'(t)}^2}\,dt\]

 $t$ を $x$ に置き換えて次を得る:

 曲線 $y=f(x)\ (a\leqq x\leqq b)$ の長さ $L$ は \[L=\int_a^b\sqrt{1+\{f'(x)\}^2}\,dx\]

補足

 この形では,弧長が簡単に求まるものは少ない.入試によく出るのは,$ax^{\frac32}$ や$\displaystyle\frac{e^x+e^{-x}}2$ (カテナリー)など.

例題 曲線 $y=\dfrac12(e^x+e^{-x})$ $(0\leqq x\leqq 1)$ の長さを求めよ.

こたえ

 $y’=\dfrac12(e^x-e^{-x})$ により,

\[\begin{align*} 1+{y’}^2&=1+\frac14(e^{2x}-2+e^{-2x})\\[5pt] &=\frac14(e^{2x}-2+e^{-2x})\\[5pt] &=\left\{\frac12(e^x-e^{-x})\right\}^2 \end{align*}\]

 $0\leqq x\leqq 1$ のとき,$e^x\geqq e^{-x}$ であるから,

\[\sqrt{1+{y’}^2}=\frac12|e^x-e^{-x}|=\frac12(e^x-e^{-x})\]

 よって

\[\begin{align*} L&=\int_0^1\frac12(e^x-e^{-x})\,dx\\[5pt] &=\left[\frac12(e^x+e^{-x})\right]_0^1\\[5pt] &=\frac12\{(e+e^{-1})-(1+1)\}\\[5pt] &=\underline{\boldsymbol{\frac12\left(e+\frac1e-2\right) }}\end{align*}\]

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