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高校数学ノート[総目次]

数学Ⅲ 第3章 積分法

  スライド ノート
1. 不定積分 [無料]  
2. 置換積分法(不定積分) [無料]  
3. 部分積分法(不定積分) [無料]  
4. 定積分とその性質 [会員]  
5. 置換積分法(定積分) [会員]  
6. 部分積分法(定積分) [会員]  
7. 定積分と微分法 [会員]  
8. 定積分と和の極限 [会員]  
9. 定積分と不等式 [会員]  
10. 定積分の応用(面積) [会員]  
11. 定積分の応用(体積) [会員]  
12. 定積分の応用(回転体の体積) [会員]  

4.定積分とその性質

4.1 定積分とは

 閉区間 $[a,b]$ で連続な関数 $f(x)$ の不定積分を $F(x)$ とすれば, \[F(b)-F(a)\ \ \cdots\mbox{①}\] を「$f(x)$ の $a$ から $b$ までの定積分」といい,①を \[\int_a^b\!f(x)\,dx\] で表す.

補足1

①は $\Bigl[F(x)\Bigr]_a^b$ とも表す.即ち

\[\int_a^b\!f(x)dx=\Bigl[F(x)\Bigr]_a^b=F(b)-F(a)\]

補足2

 $F(x)+C\ (C$ は定数)もまた $f(x)$ の不定積分であるが, \[\begin{align*} \Bigl[F(x)+C\Bigr]_a^b&=\{F(b)+C\}-\{F(a)+C\}\\ &=F(b)-F(a) \end{align*}\] であるから定積分の値は変わらない.

補足3

 定数 $a,b$ に対して①は(定数)$-$(定数)だから,定積分は定数である.( $x$ の関数ではない.)

4.2 定積分の性質

\[\begin{align*} &\mbox{①}\ \int_a^b\!kf(x)\,dx=k\int_a^b\!f(x)\,dx\ \ (k\mbox{は定数})\\ &\mbox{②}\ \int_a^b\!\{f(x)\!+\!g(x)\}dx=\int_a^b\!f(x)\,dx\!+\!\int_a^b\!g(x)\,dx\\ &\mbox{③}\ \int_a^b\!f(x)\,dx=-\int_b^a\!f(x)\,dx\\ &\hspace{5mm}\left(\mbox{特に,}\int_a^a\!f(x)\,dx=0\right)\\ &\mbox{④}\ \int_a^b\!f(x)\,dx=\int_a^c\!f(x)\,dx+\int_c^bf(x)\,dx \end{align*}\]

証明

③\[\begin{align*} \mbox{左辺}&=F(b)-F(a)\\ &=-\{F(a)-F(b)\}\\ &=\mbox{右辺} \end{align*}\]  また,③において $b$ も $a$ とおくと, \[\int_a^a\!\!f(x)\,dx=-\int_a^a\!\!f(x)\,dx\] \[\therefore \int_a^a\!\!f(x)\,dx=0\]  (定義より $\displaystyle\int_a^a\!\!f(x)\,dx\!=\!F(a)\!-\!F(a)=0$ でもよい.)

④\[\begin{align*} \mbox{右辺}&=\{F(c)-F(a)\}+\{F(b)-F(c)\}\\ &=F(b)-F(a)\\ &=\mbox{左辺} \end{align*}\]


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