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高校数学ノート[総目次]

数学Ⅲ 第3章 積分法

スライド↓        ノート↓
1.不定積分 無料           【ノート
2.置換積分法(不定積分) 無料    【ノート
3.部分積分法(不定積分) 無料    【ノート
4.定積分とその性質          【ノート
5.置換積分法(定積分)        【ノート
6.部分積分法(定積分)        【ノート
7.定積分と微分法           【ノート
8.定積分と和の極限          【ノート
9.定積分と不等式           【ノート
10. 定積分の応用(面積)       【ノート
11. 定積分の応用(体積)       【ノート
12. 定積分の応用(回転体の体積)   【ノート
※【ノート】はスライドの内容をまとめたものです.

4.定積分とその性質

4.1 定積分とは

 閉区間 $[a,b]$ で連続な関数 $f(x)$ の不定積分を $F(x)$ とすれば, \[F(b)-F(a)\ \ \cdots\mbox{①}\] を「$f(x)$ の $a$ から $b$ までの定積分」といい,①を \[\int_a^b\!f(x)\,dx\] で表す.

補足1

①は $\Bigl[F(x)\Bigr]_a^b$ とも表す.即ち

\[\int_a^b\!f(x)dx=\Bigl[F(x)\Bigr]_a^b=F(b)-F(a)\]

補足2

 $F(x)+C\ (C$ は定数)もまた $f(x)$ の不定積分であるが, \[\begin{align*} \Bigl[F(x)+C\Bigr]_a^b&=\{F(b)+C\}-\{F(a)+C\}\\ &=F(b)-F(a) \end{align*}\] であるから定積分の値は変わらない.

補足3

 定数 $a,b$ に対して①は(定数)$-$(定数)だから,定積分は定数である.( $x$ の関数ではない.)

4.2 定積分の性質

\[\begin{align*} &\mbox{①}\ \int_a^b\!kf(x)\,dx=k\int_a^b\!f(x)\,dx\ \ (k\mbox{は定数})\\ &\mbox{②}\ \int_a^b\!\{f(x)\!+\!g(x)\}dx=\int_a^b\!f(x)\,dx\!+\!\int_a^b\!g(x)\,dx\\ &\mbox{③}\ \int_a^b\!f(x)\,dx=-\int_b^a\!f(x)\,dx\\ &\hspace{5mm}\left(\mbox{特に,}\int_a^a\!f(x)\,dx=0\right)\\ &\mbox{④}\ \int_a^b\!f(x)\,dx=\int_a^c\!f(x)\,dx+\int_c^bf(x)\,dx \end{align*}\]

証明

③\[\begin{align*} \mbox{左辺}&=F(b)-F(a)\\ &=-\{F(a)-F(b)\}\\ &=\mbox{右辺} \end{align*}\]  また,③において $b$ も $a$ とおくと, \[\int_a^a\!\!f(x)\,dx=-\int_a^a\!\!f(x)\,dx\] \[\therefore \int_a^a\!\!f(x)\,dx=0\]  (定義より $\displaystyle\int_a^a\!\!f(x)\,dx\!=\!F(a)\!-\!F(a)=0$ でもよい.)

④\[\begin{align*} \mbox{右辺}&=\{F(c)-F(a)\}+\{F(b)-F(c)\}\\ &=F(b)-F(a)\\ &=\mbox{左辺} \end{align*}\]


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