このページにある内容は,こちらのスライドでわかり易く説明しています.

4.1 定積分とは

 閉区間$[a,b]$で連続な関数$f(x)$の不定積分を$F(x)$とすれば, \[F(b)-F(a)\ \ \cdots\mbox{①}\] を「$f(x)$の$a$から$b$までの定積分」といい,①を \[\int_a^b\!f(x)\,dx\] で表す.

補足1

①は$\Bigl[F(x)\Bigr]_a^b$とも表す.即ち

\[\int_a^b\!f(x)dx=\Bigl[F(x)\Bigr]_a^b=F(b)-F(a)\]

補足2

 $F(x)+C(C$は定数)もまた$f(x)$の不定積分であるが, \[\begin{align*} \Bigl[F(x)+C\Bigr]_a^b&=\{F(b)+C\}-\{F(a)+C\}\\ &=F(b)-F(a) \end{align*}\] であるから定積分の値は変わらない.

補足3

 定数$a,b$に対して①は(定数)$-$(定数)だから,定積分は定数である.($x$の関数ではない.)

4.1 定積分の性質

\[\begin{align*} &\mbox{①}\ \int_a^b\!kf(x)\,dx=k\int_a^b\!f(x)\,dx\ \ (k\mbox{は定数})\\ &\mbox{②}\ \int_a^b\!\{f(x)\!+\!g(x)\}dx=\int_a^b\!f(x)\,dx\!+\!\int_a^b\!g(x)\,dx\\ &\mbox{③}\ \int_a^b\!f(x)\,dx=-\int_b^a\!f(x)\,dx\\ &\hspace{5mm}\left(\mbox{特に,}\int_a^a\!f(x)\,dx=0\right)\\ &\mbox{④}\ \int_a^b\!f(x)\,dx=\int_a^c\!f(x)\,dx+\int_c^bf(x)\,dx \end{align*}\]

証明

③\[\begin{align*} \mbox{左辺}&=F(b)-F(a)\\ &=-\{F(a)-F(b)\}\\ &=\mbox{右辺} \end{align*}\]  また,③において$b$も$a$とおくと, \[\int_a^a\!\!f(x)\,dx=-\int_a^a\!\!f(x)\,dx\] \[\therefore \int_a^a\!\!f(x)\,dx=0\]  (定義より$\displaystyle\int_a^a\!\!f(x)\,dx\!=\!F(a)\!-\!F(a)=0$でもよい.)

④\[\begin{align*} \mbox{右辺}&=\{F(c)-F(a)\}+\{F(b)-F(c)\}\\ &=F(b)-F(a)\\ &=\mbox{左辺} \end{align*}\]