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高校数学ノート[総目次]

数学Ⅲ 第3章 積分法

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1. 不定積分 [無料]  
2. 置換積分法(不定積分) [無料]  
3. 部分積分法(不定積分) [無料]  
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5. 置換積分法(定積分) [会員]  
6. 部分積分法(定積分) [会員]  
7. 定積分と微分法 [会員]  
8. 定積分と和の極限 [会員]  
9. 定積分と不等式 [会員]  
10. 定積分の応用(面積) [会員]  
11. 定積分の応用(体積) [会員]  
12. 定積分の応用(回転体の体積) [会員]  

11.定積分の応用(体積)

11.1 体積と積分

 空間内の立体を平面で切り,この平面と垂直に $x$ 軸をとって切り口の面積を $S(x)$ とすると,この立体の平面 $x=a$ と平面 $x=b$ (ただし $a < b$ ) との間にある部分の体積 $V$ は \[V=\int_a^b\!\!S(x)\,dx\] である.

証明

 2平面 $x=a,x=t$ で挟まれる部分の体積を $V(t)$ とすると, \[V=V(b)\] である.
 $\Delta t > 0$のとき,$\Delta V=V(t+\Delta t)-V(t)$ とおき,区間 $[t,t+\Delta t]$ における $S(t)$ の最小値を $m$,最大値を $M$ とすると, \[m\Delta t\leqq \Delta V\leqq M\Delta t\] \[\therefore m\leqq\frac{\Delta V}{\Delta t}\leqq M\]  ここで,$\Delta t\to +0$ とすると, \[m\to S(t),\ M\to S(t)\] であるから,はさみうちの原理により \[\lim_{\Delta t\to+0}\frac{\Delta V}{\Delta t}=S(t)\ \cdots\mbox{①}\]  $\Delta t < 0$ のときも同様にして, \[\lim_{\Delta t\to -0}\frac{\Delta V}{\Delta t}=S(t)\ \cdots\mbox{②}\]  ①,②により, \[\lim_{\Delta t\to 0}\frac{\Delta V}{\Delta t}=S(t)\]  この式の左辺は, \[\mbox{左辺}=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{V(t+\Delta t)-V(t)}{\Delta t}=\frac{dV}{dt}\] であるから結局 \[\frac{dV}{dt}=S(t)\] である.つまり $V(t)$ は $S(t)$ の不定積分であることがわかった.従って, \[V(b)-V(a)=\int_a^b\!\!S(t)\,dt\]  $V(t)$ のおき方から $V(a)=0$ であるから, \[V(b)(=V)=\int_a^b\!\!S(t)\,dt\]

補足

 体積を求めるには断面積がわかればよいということであるが,どういう切り口を考えるかで計算の煩雑さが大きく異なる場合が多い.
 また,立体の全体像がイメージできなくても,断面積さえわかれば体積は計算できる.

例題  直円柱 $x^2+y^2\leqq1,\ 0\leqq z\leqq1$ を平面 $y=z$ で切ったとき,小さい方の体積$V$を求めよ.

その1 [ $x$ 軸に垂直な平面で切る]

 $x$ 軸に垂直な平面で切った切り口は直角二等辺三角形で,その面積は \[\frac12\Bigl(\sqrt{1-x^2}\Bigr)^2=\frac12(1-x^2)\] であるから, \[\begin{align*} V&=\int_{-1}^1\!\!\frac12(1-x^2)\,dx\\ &=-\frac12\int_{-1}^1\!\!(x+1)(x-1)\,dx\\ &=-\frac12\cdot\left\{-\frac{(1+1)^3}6\right\}\\ &=\underline{\frac23} \end{align*}\]

その2 [ $y$ 軸に垂直な平面で切る]

 $y$ 軸に垂直な平面で切った切り口は長方形で,その面積は \[y\times2\sqrt{1-y^2}\] であるから, \[\begin{align*} V&=2\int_0^1\!\!y\sqrt{1-y^2}\,dy\\ &=2\left[-\frac13(1-y^2)^{\frac32}\right]_0^1\\ &=\underline{\frac23} \end{align*}\]


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