高校数学ノート[総目次]

高校数学ワンポイント

スライド↓        ノート↓
1.ファクシミリの原理 無料    【ノート
2.バウムクーヘン分割 無料    【ノート
3.円と放物線            【ノート
4.垂線の長さ            【ノート
5.不定方程式            【ノート
6.関数の連続性は導関数に遺伝するか 【ノート
7.極方程式における $r$ の正負について 【ノート
8.極座標表示における扇形分割積分  【ノート
※【ノート】はスライドの内容をまとめたものです.

1.有名な例題

Q.  「命題:$3x+7y$ は,適当な自然数 $x,\ y$ を選べば,$n$ 以上の整数を全て表すことができる.」
 この命題を真にする最小の自然数 $n$ を求めなさい.

\[\begin{align*} 3\cdot5+7\cdot1&=22\\[5pt] 3\cdot3+7\cdot2&=23\\[5pt] 3\cdot 1+7\cdot 3&=24 \end{align*}\] です.実は本問の場合,連続する3つの整数が表現できれば,それらより大きい整数を全て表現できます.何故というに,$i=0,\ 1,\ 2,\ \cdots$ とすれば, \[\begin{align*} 3\cdot(5+i)+7\cdot1&=22+3i\\[5pt] 3\cdot(3+i)+7\cdot2&=23+3i\\[5pt] 3\cdot(1+i)+7\cdot3&=24+3i \end{align*}\] と表せるからです.
 次に,$3x+7y=21$ となる自然数の組 $(x,\ y)$ がないことを示します.$y=1$ のとき, \[3x+7=21\] となりますが,これを満たす自然数 $x$ は存在しません.$y=2,\ 3$ のときも同様に示されます.
 よって,求める自然数 $n$ は 22 です.

2.不定方程式の重要な定理

 整数論における次の定理は重要です.先ほどの問題とは違って,$(x,\ y)$ は整数の組であることに注意が必要です.

定理  $a,\ b$ を自然数とする.$a,\ b$ の最大公約数を $d$ とすると \[ ax+by=d\] を満たす整数の組 $(x,\ y)$ が存在する.

証明

 $S$ を $ax+by\ (x,\ y$ は整数) の形で表せる整数の集合とします: \[ S=\{ax+by\ |\ x,\ y\ \mbox{は整数}\} \]  $x,\ y$ が整数全体を動きますから,集合 $S$ には正の整数があります.その中で最小のものを $m$ とします.証明の流れは次のようになります.

証明の流れ
  1. $S\subset \{km\ |\ k \mbox{ は整数}\}$ を示す.
  2. $S\supset \{km\ |\ k \mbox{ は整数}\}$ を示す.
  3. $m=d$ を示す.すると $ax+by=d$ とできる.

1.$S\subset \{km\ |\ k \mbox{ は整数}\}$ を示す

 $m$ は $S$ の元ですから,ある整数 $x_0,\ y_0$ によって \[m=ax_0+by_0\] と書けます.
 次に,$S$ の任意の元 $s$ を $m$ で割った商を $k$,余りを $r$ とすると, \[\begin{align*} s&=mk+r\ \ \ (0\leqq r < m)\ \cdots ①\\[5pt] \therefore r&=s-mk \end{align*}\] と書けます.すると \[\begin{align*} r&=s-mk\\[5pt] &=(ax+by)-(ax_0+by_0)k\\[5pt] &=a(x-x_0k)+b(y-y_0k) \end{align*}\] となって,$r$ は $a\times(\mbox{整数})+b\times(\mbox{整数})$ という形に書けていますから,$S$ の元です.$0\leqq r < m$ でしたから,$m(>0)$ の最小性より $r=0$ となるしかありません.従って①より $s=km$ です.即ち $S$ の任意の元は,集合 $\{km\ |\ k \mbox{ は整数}\}$ の元ですから
\[S\subset \{km\ |\ k \mbox{ は整数}\}\] がいえました.

2.$S\supset \{km\ |\ k \mbox{ は整数}\}$ を示す

 $m=ax_0+by_0$ ですから $km=a(kx_0)+b(ky_0)$ です.これは $km$ が $a\times(\mbox{整数})+b\times(\mbox{整数})$ という形に書けることを意味しますから $S$ の元です.従って \[S\supset \{km\ |\ k \mbox{ は整数}\}\] がいえました.


 1.及び2.により,「 $S\subset\{km\ |\ k \mbox{ は整数}\}$ かつ $S\supset\{km\ |\ k \mbox{ は整数}\}$ 」 となりましたから,
$S$ $=$ $\{km\ |\ k \mbox{ は整数}\}$

がいえました.即ち $S$ は $m$ の倍数の集まりなのです.

3.$m=d$ を示す

 $m=ax_0+by_0$ でした.この右辺が $a$ と $b$ の最大公約数 $d$ の倍数ですから,左辺の $m$ も $d$ の倍数です ($m\geqq d\ \cdots ②$).
 一方,$a=a\cdot 1+b\cdot 0$,及び $b=a\cdot 0+b\cdot 1$ ですから,$a,\ b\in S$.従って $a$ も $b$ も $m$ の倍数ですから $m$ は $a$ と $b$ の公約数です ($m\leqq d\ \cdots ③$).
 ②,③より $m=d$ がいえました.

 以上により,

集合 $\boldsymbol{S}$ と集合 $\boldsymbol{\{kd\ |\ k}$ は整数$\boldsymbol{\}}$ は一致する

ことが示されました.故に $ax+by=d$ を満たす整数の組 $(x,\ y)$ が存在します.

補足

 不定方程式 $ax+by=c$ は,$c$ が $d$ の倍数のときのみ解をもつことが,上の考察からわかります.

 $a,\ b$ を互いに素な自然数とするとき, \[ ax+by=1 \] を満たす整数の組 $(x,\ y)$ が存在する.

証明

 $a$ と $b$ が互いに素ですから最大公約数 $d$ は 1 です.

例1

 $6x+9y\ (x,\ y \mbox{ は整数})$ で表される数は 3(6と9の最大公約数)の倍数(全て)です.また,例えば $6\cdot(-1)+9\cdot 1=3$ です.

例2

 $3x+5y\ (x,\ y \mbox{ は整数})$で表される数は整数全体です.例えば $3\cdot 2+5\cdot (-1)=1$ ですから,$k$ を任意の整数として, \[3\cdot 2k+5\cdot (-k)=k\] と表せます.


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6.関数の連続性は導関数に遺伝するか 【ノート
7.極方程式における $r$ の正負について 【ノート
8.極座標表示における扇形分割積分  【ノート
※【ノート】はスライドの内容をまとめたものです.