Q.
「命題：$3x+7y$ は，適当な自然数 $x,\ y$ を選べば，$n$ 以上の整数を全て表すことができる．」
この命題を真にする最小の自然数 $n$ を求めなさい．
答
\[\begin{align*}
3\cdot5+7\cdot1&=22\\[5pt]
3\cdot3+7\cdot2&=23\\[5pt]
3\cdot 1+7\cdot 3&=24
\end{align*}\]
です．実は本問の場合，連続する3つの整数が表現できれば，それらより大きい整数を全て表現できます．何故というに，$i=0,\ 1,\ 2,\ \cdots$ とすれば，
\[\begin{align*}
3\cdot(5+i)+7\cdot1&=22+3i\\[5pt]
3\cdot(3+i)+7\cdot2&=23+3i\\[5pt]
3\cdot(1+i)+7\cdot3&=24+3i
\end{align*}\]
と表せるからです．
次に，$3x+7y=21$ となる自然数の組 $(x,\ y)$ がないことを示します．$y=1$ のとき，
\[3x+7=21\]
となりますが，これを満たす自然数 $x$ は存在しません．$y=2,\ 3$ のときも同様に示されます．
よって，求める自然数 $n$ は 22 です．
整数論における次の定理は重要です．先ほどの問題とは違って，$(x,\ y)$ は整数の組であることに注意が必要です．
定理 $a,\ b$ を自然数とする．$a,\ b$ の最大公約数を $d$ とすると \[ ax+by=d\] を満たす整数の組 $(x,\ y)$ が存在する．
証明
$S$ を $ax+by\ (x,\ y$ は整数) の形で表せる整数の集合とします： \[ S=\{ax+by\ |\ x,\ y\ \mbox{は整数}\} \] $x,\ y$ が整数全体を動きますから，集合 $S$ には正の整数があります．その中で最小のものを $m$ とします．証明の流れは次のようになります．
証明の流れ
- $S\subset \{km\ |\ k \mbox{ は整数}\}$ を示す．
- $S\supset \{km\ |\ k \mbox{ は整数}\}$ を示す．
- $m=d$ を示す．すると $ax+by=d$ とできる．
1．$S\subset \{km\ |\ k \mbox{ は整数}\}$ を示す
$m$ は $S$ の元ですから，ある整数 $x_0,\ y_0$ によって
\[m=ax_0+by_0\]
と書けます．
次に，$S$ の任意の元 $s$ を $m$ で割った商を $k$，余りを $r$ とすると，
\[\begin{align*}
s&=mk+r\ \ \ (0\leqq r < m)\ \cdots ①\\[5pt]
\therefore r&=s-mk
\end{align*}\]
と書けます．すると
\[\begin{align*}
r&=s-mk\\[5pt]
&=(ax+by)-(ax_0+by_0)k\\[5pt]
&=a(x-x_0k)+b(y-y_0k)
\end{align*}\]
となって，$r$ は $a\times(\mbox{整数})+b\times(\mbox{整数})$ という形に書けていますから，$S$ の元です．$0\leqq r < m$ でしたから，$m(>0)$ の最小性より $r=0$ となるしかありません．従って①より $s=km$ です．即ち $S$ の任意の元は，集合 $\{km\ |\ k \mbox{ は整数}\}$ の元ですから
\[S\subset \{km\ |\ k \mbox{ は整数}\}\]
がいえました．
2．$S\supset \{km\ |\ k \mbox{ は整数}\}$ を示す
$m=ax_0+by_0$ ですから $km=a(kx_0)+b(ky_0)$ です．これは $km$ が $a\times(\mbox{整数})+b\times(\mbox{整数})$ という形に書けることを意味しますから $S$ の元です．従って \[S\supset \{km\ |\ k \mbox{ は整数}\}\] がいえました．
1．及び2．により，「 $S\subset\{km\ |\ k \mbox{ は整数}\}$ かつ $S\supset\{km\ |\ k \mbox{ は整数}\}$ 」 となりましたから，
がいえました．即ち $S$ は $m$ の倍数の集まりなのです．
3．$m=d$ を示す
$m=ax_0+by_0$ でした．この右辺が $a$ と $b$ の最大公約数 $d$ の倍数ですから，左辺の $m$ も $d$ の倍数です ($m\geqq d\ \cdots ②$)．
一方，$a=a\cdot 1+b\cdot 0$，及び $b=a\cdot 0+b\cdot 1$ ですから，$a,\ b\in S$．従って $a$ も $b$ も $m$ の倍数ですから $m$ は $a$ と $b$ の公約数です ($m\leqq d\ \cdots ③$)．
②，③より $m=d$ がいえました．
以上により，
集合 $\boldsymbol{S}$ と集合 $\boldsymbol{\{kd\ |\ k}$ は整数$\boldsymbol{\}}$ は一致する
ことが示されました．故に $ax+by=d$ を満たす整数の組 $(x,\ y)$ が存在します．
補足
不定方程式 $ax+by=c$ は，$c$ が $d$ の倍数のときのみ解をもつことが，上の考察からわかります．
系 $a,\ b$ を互いに素な自然数とするとき， \[ ax+by=1 \] を満たす整数の組 $(x,\ y)$ が存在する．
証明
$a$ と $b$ が互いに素ですから最大公約数 $d$ は 1 です．
例1
$6x+9y\ (x,\ y \mbox{ は整数})$ で表される数は 3(6と9の最大公約数)の倍数(全て)です．また，例えば $6\cdot(-1)+9\cdot 1=3$ です．
例2
$3x+5y\ (x,\ y \mbox{ は整数})$で表される数は整数全体です．例えば $3\cdot 2+5\cdot (-1)=1$ ですから，$k$ を任意の整数として， \[3\cdot 2k+5\cdot (-k)=k\] と表せます．