高校数学ノート[総目次]
高校数学ワンポイント
スライド | ノート | |
1. ファクシミリの原理 | [無料] | |
2. バウムクーヘン分割 | [無料] | |
3. 円と放物線 | ||
4. 垂線の長さ | ||
5. 不定方程式 | ||
6. 関数の連続性は導関数に遺伝するか | ||
7. 極方程式における $r$ の正負について | ||
8. 極座標表示における扇形分割積分 |
1.有名な例題
Q.
「命題:$3x+7y$ は,適当な自然数 $x,\ y$ を選べば,$n$ 以上の整数を全て表すことができる.」
この命題を真にする最小の自然数 $n$ を求めなさい.
答
\[\begin{align*}
3\cdot5+7\cdot1&=22\\[5pt]
3\cdot3+7\cdot2&=23\\[5pt]
3\cdot 1+7\cdot 3&=24
\end{align*}\]
です.実は本問の場合,連続する3つの整数が表現できれば,それらより大きい整数を全て表現できます.何故というに,$i=0,\ 1,\ 2,\ \cdots$ とすれば,
\[\begin{align*}
3\cdot(5+i)+7\cdot1&=22+3i\\[5pt]
3\cdot(3+i)+7\cdot2&=23+3i\\[5pt]
3\cdot(1+i)+7\cdot3&=24+3i
\end{align*}\]
と表せるからです.
次に,$3x+7y=21$ となる自然数の組 $(x,\ y)$ がないことを示します.$y=1$ のとき,
\[3x+7=21\]
となりますが,これを満たす自然数 $x$ は存在しません.$y=2,\ 3$ のときも同様に示されます.
よって,求める自然数 $n$ は 22 です.
2.不定方程式の重要な定理
整数論における次の定理は重要です.先ほどの問題とは違って,$(x,\ y)$ は整数の組であることに注意が必要です.
定理 $a,\ b$ を自然数とする.$a,\ b$ の最大公約数を $d$ とすると \[ ax+by=d\] を満たす整数の組 $(x,\ y)$ が存在する.
証明
$S$ を $ax+by\ (x,\ y$ は整数) の形で表せる整数の集合とします:
$S=\{ax+by\ |\ x,\ y$ は整数$\}$
$x,\ y$ が整数全体を動きますから,集合 $S$ には正の整数があります.その中で最小のものを $m$ とします.証明の流れは次のようになります.
証明の流れ
- $S\subset \{km\ |\ k $ は整数$\}$ を示す.
- $S\supset \{km\ |\ k $ は整数$\}$ を示す.
- $m=d$ を示す.すると $ax+by=d$ とできる.
1.$S\subset \{km\ |\ k$ は整数$\}$ を示す
$m$ は $S$ の元ですから,ある整数 $x_0,\ y_0$ によって
\[m=ax_0+by_0\]
と書けます.
次に,$S$ の任意の元 $s$ を $m$ で割った商を $k$,余りを $r$ とすると,
\[\begin{align*}
s&=mk+r\ \ \ (0\leqq r < m)\ \cdots ①\\[5pt]
\therefore r&=s-mk
\end{align*}\]
と書けます.すると
\[\begin{align*}
r&=s-mk\\[5pt]
&=(ax+by)-(ax_0+by_0)k\\[5pt]
&=a(x-x_0k)+b(y-y_0k)
\end{align*}\]
となって,$r$ は $a\times($整数$)+b\times($整数$)$ という形に書けていますから,$S$ の元です.$0\leqq r < m$ でしたから,$m(>0)$ の最小性より $r=0$ となるしかありません.従って①より $s=km$ です.即ち $S$ の任意の元は,集合 $\{km\ |\ k$ は整数$\}$ の元ですから
$S\subset\{km\ |\ k $ は整数$\}$
がいえました.
2.$S\supset \{km\ |\ k$ は整数$\}$ を示す
$m=ax_0+by_0$ ですから $km=a(kx_0)+b(ky_0)$ です.これは $km$ が $a\times(\mbox{整数})+b\times(\mbox{整数})$ という形に書けることを意味しますから $S$ の元です.従って
$S\supset\{km\ |\ k $ は整数$\}$
がいえました.
1.及び2.により,「 $S\subset\{km\ |\ k$ は整数$\}$ かつ $S\supset\{km\ |\ k$ は整数$\}$ 」 となりましたから,
$S$ $=$ $\{km\ |\ k $ は整数$\}$
がいえました.即ち $S$ は $m$ の倍数の集まりなのです.
3.$m=d$ を示す
$m=ax_0+by_0$ でした.この右辺が $a$ と $b$ の最大公約数 $d$ の倍数ですから,左辺の $m$ も $d$ の倍数です ($m\geqq d\ \cdots ②$).
一方,$a=a\cdot 1+b\cdot 0$,及び $b=a\cdot 0+b\cdot 1$ ですから,$a,\ b\in S$.従って $a$ も $b$ も $m$ の倍数ですから $m$ は $a$ と $b$ の公約数です ($m\leqq d\ \cdots ③$).
②,③より $m=d$ がいえました.
以上により,
集合 $\boldsymbol{S}$ と集合 $\boldsymbol{\{kd\ |\ k}$ は整数$\boldsymbol{\}}$ は一致する
ことが示されました.故に $ax+by=d$ を満たす整数の組 $(x,\ y)$ が存在します.
■
補足
不定方程式 $ax+by=c$ は,$c$ が $d$ の倍数のときのみ解をもつことが,上の考察からわかります.
系 $a,\ b$ を互いに素な自然数とするとき, \[ ax+by=1 \] を満たす整数の組 $(x,\ y)$ が存在する.
証明
$a$ と $b$ が互いに素ですから最大公約数 $d$ は 1 です.
■
例1
$6x+9y\ (x,\ y$ は整数$)$ で表される数は 3(6と9の最大公約数)の倍数(全て)です.また,例えば $6\cdot(-1)+9\cdot 1=3$ です.
例2
$3x+5y\ (x,\ y $ は整数$)$で表される数は整数全体です.例えば $3\cdot 2+5\cdot (-1)=1$ ですから,$k$ を任意の整数として, \[3\cdot 2k+5\cdot (-k)=k\] と表せます.
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