点Oを極とする極座標表示で表された曲線上の点をPとするとき，線分OPの通過領域の面積を求める際に，強力な威力を発揮するのが扇型分割による積分です．ここではこの積分公式の証明を行います．

高校数学[総目次]

高校数学ワンポイント

  スライド ノート
1. ファクシミリの原理 [会員]  
2. バウムクーヘン分割 [会員]  
3. 円と放物線    
4. 垂線の長さ    
5. 不定方程式    
6. 関数の連続性は導関数に遺伝するか    
7. 極方程式における $r$ の正負について    
8. 極座標表示における扇形分割積分    
9. 素因数分解の一意性    
10. 三角関数の不定積分    
11. シュワルツの不等式    
12. 放物線と2接線で囲まれた部分の面積    
13. 整式の除法(発展編)    
14. 3次関数のグラフの特徴    
15. 曲線の長さを求める公式の証明について    
16. もう迷わない！必要条件・十分条件の判定方法    

1．扇形分割の積分公式

　極座標において，O を極，P$(r,\theta)$ とする．$\theta=\alpha$ から $\theta=\beta$ まで線分OP が通過する面積は， \[\int_\alpha^\beta\!\frac 12r^2d\theta\]

証明

　図の斜線部分の面積を $S(\theta)$ とします．$\theta$ が微小量 $\Delta\theta(>0)$ だけ変化したときの面積の変化量は，$\theta$ から $\theta+\Delta\theta$ までの $r$ の最大値，最小値をそれぞれ $M,m$ とすると \[\frac 12m^2\Delta\theta\leqq S(\theta+\Delta\theta)-S(\theta)\leqq \frac 12M^2\Delta\theta.\]

となります．正の数 $\Delta \theta$ で各辺を割ると \[\frac 12m^2\leqq \frac{S(\theta+\Delta\theta)-S(\theta)}{\Delta\theta}\leqq \frac 12M^2. \] 　ここで $\Delta\theta\to +0$ とすると，$M\to r,\ m\to r$ となりますから，はさみうちの原理により

(中辺) $\to\dfrac 12r^2\ \ (\Delta \theta\to +0)$

となります．$\Delta\theta < 0$のときも同様ですから結局

(中辺) $\to\dfrac 12r^2\ \ (\Delta \theta\to 0)$

です．ところで，中辺において $\Delta \theta\to 0$とした式 \[\lim_{\theta\to0}\frac{S(\theta+\Delta\theta)-S(\theta)}{\Delta\theta}\] は，$S'(\theta)$ の定義式に他なりません．つまり， \[S'(\theta)=\frac 12r^2\] であることがわかりました．従って求める面積は， \[\begin{align*} S(\beta)-S(\alpha)&=\Bigl[S(\theta)\Bigr]_\alpha^\beta\\[5pt] &=\int_\alpha^\beta\!S'(\theta)\,d\theta\\[5pt] &=\int_\alpha^\beta\!\frac 12r^2\,d\theta. \end{align*}\]

■

2．応用例

　扇形分割の積分公式を使って面積を求めてみましょう．この公式が使えるケースは

  • 極方程式として $r=f(\theta)$ が与えられている場合
  • 点$(x,y)$ が $r=f(\theta)$ として $(x,y)=(r\cos\theta,r\sin\theta)$ と書ける，即ち\[\left(\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right)=f(\theta)\left(\begin{array}{c}\cos\theta\\ \sin\theta\end{array}\right)\] と極座標表示できる場合

です．

Q.　$xy$ 平面上の曲線 $C:x=e^{-\theta}\cos \theta,\ $$y=e^{-\theta}\sin \theta\ $$(0\leqq \theta\leqq \pi)$ と $x$ 軸とで囲まれる部分の面積 $S$ を求めよ．

解法の指針

　$f(\theta)=e^{-\theta}$ として，$\left(\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right)=f(\theta)\left(\begin{array}{c}\cos\theta\\ \sin\theta\end{array}\right)$ と表すことができますから，扇形分割の積分公式が使えます．

答

\[r^2=e^{-2\theta}(\cos^2\theta+\sin^2\theta)=e^{-2\theta}\] となりますから， \[\begin{align*} S&=\int_0^\pi\!\frac12 e^{-2\theta}\,d\theta\\[5pt] &=\Bigl[-\frac14e^{-2\theta}\Bigr]_0^\pi\\[5pt] &=\boldsymbol{\frac{1-e^{-2\pi}}4}\ \ \cdots(\mbox{答}) \end{align*}\]

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