高校数学ノート[総目次]

高校数学ワンポイント

スライド↓        ノート↓
1.ファクシミリの原理 無料    【ノート
2.バウムクーヘン分割 無料    【ノート
3.円と放物線            【ノート
4.垂線の長さ            【ノート
5.不定方程式            【ノート
6.関数の連続性は導関数に遺伝するか 【ノート
7.極方程式における $r$ の正負について 【ノート
8.極座標表示における扇形分割積分  【ノート
※【ノート】はスライドの内容をまとめたものです.

1.よくある誤答

 まずは次の問題と解答と怪答(??)の3つを見てください.

Q. 関数 $f(x)=|x|$ は $x=0$ で微分可能ではないことを示しなさい.

解答
 $x > 0$ のとき,$f(x)=x$ であるから \[\lim_{h\to +0}\frac{f(0+h)-f(0)}h=\lim_{h\to +0}\frac {h-0}h=1\]  また,$x < 0$ のとき,$f(x)=-x$ であるから, \[\lim_{h\to -0}\frac{f(0+h)-f(0)}h=\lim_{h\to -0}\frac{-h-0}h=-1\]  従って右側極限と左側極限が一致しないから $\displaystyle\lim_{h\to0}\frac{f(0+h)-f(0)}h$ は存在しない.
 故に,$f(x)$ は $x=0$ で微分可能ではない.


 さて,次の怪答(??)は正しいでしょうか?

怪答(??)
 $x > 0$ のとき,$f(x)=x.$
 よって $f'(x)=1$ であるから $\displaystyle\lim_{x\to +0}f'(x)=1.$
 また,$x < 0$ のとき,$f(x)=-x.$
 よって $f'(x)=-1$ であるから $\displaystyle\lim_{x\to -0}f'(x)=-1.$
 従って$\displaystyle{\lim_{x\to +0}f'(x)\neq \lim_{x\to -0}f'(x)}$ であるから $f'(0)$ は存在しない.
 故に,$f(x)$ は $x=0$ で微分可能ではない.

(??)


 上の「怪答(??)」は,

$\displaystyle\lim_{x\to 0}f'(x)$ が存在しない $\Longrightarrow$ $f'(0)$ が存在しない

というもので,つまりは $f'(x)$ の $x=0$ での連続性 \[ \lim_{x\to 0}f'(x)=f'(0) \] を論拠としているように見えますが,これは正しいでしょうか?

 結論から言いますと,$f(x)$ がある区間で連続であっても,導関数 $f'(x)$ の方は必ずしも連続とは限りません.つまり

連続性は導関数には遺伝しない

のです.そのことを次の例で確認してみましょう.

2.連続性が遺伝しない例

\[f(x)=\left\{ \begin{array}{ll} x^2\cos\dfrac 1x&(x\neq 0)\\ 0&(x=0) \end{array} \right. \]

 まず関数 $f(x)$ が連続関数であることを確認しておきます.
 $x\neq0$ ならばもちろん任意の実数 $x$ で連続です.$x=0$ での連続性は,$-1\leqq \cos\dfrac1x\leqq1$ により \[-x^2\leqq x^2\cos\frac1x\leqq x^2\] と評価できますから,はさみうちの原理により, \[\lim_{x\to0}x^2\cos\frac1x=0.\]  従って, \[\lim_{x\to0}f(x)=f(0)\] が成り立ちますから,$f(x)$ は $x=0$ でも連続です.
 以上により,$f(x)$が実数全体で連続であることがわかりました.

 次に,導関数 $f'(x)$ についてみてみましょう.
 $x\neq 0$ では \[\begin{align*} f'(x)&=2x\cos\frac 1x-x^2\sin\frac 1x\cdot\left(-\frac 1{x^2}\right)\\[5pt] &=2x\cos\frac 1x+\sin\frac 1x\\[5pt] \end{align*}\] となります.$x=0$ のときは,上の式は使えませんから微分係数の定義にあてはめて \[\begin{gather*} \left|\frac{f(h)-f(0)}h\right|=\left|\frac{h^2\cos(1/h)-0}h\right|=\left|h\cos\frac 1h\right|\leqq |h|.\\[5pt] \therefore\ \lim_{h\to 0}\frac{f(h)-f(0)}h=0. \end{gather*}\] 即ち,$x=0$ でも微分可能で $f'(x)=0$ となりますから,$f'(x)$ はまとめると次のようになります: \[ f'(x)=\left\{ \begin{array}{ll} 2x\cos\dfrac 1x+\sin\dfrac 1x&(x\neq 0)\ \ \ \cdots \mbox{①}\\ 0&(x=0) \end{array} \right. \]

 それでは $f'(x)$ の連続性についてはどうでしょうか.$x\neq 0$ においては①式により $f'(x)$ は連続ですが,$x=0$ では \[ \lim_{x\to 0}f'(x)=f'(0) \] となっているかどうかを確かめてみる必要があります.ところが①式において $x\to 0$ のとき,$x\cos\dfrac1x$ の部分ははさみうちの原理により 0 に収束しますが,$\sin\dfrac 1x$ の部分が収束しませんから,結局 $\displaystyle{\lim_{x\to 0}f'(x)}$ は存在しません.即ち $f'(x)$ は $x=0$ で不連続となっているのです.

 以上により,$f(x)$ は連続関数であるけれども,その導関数である $f'(x)$ は連続関数ではないことがわかりました.つまり

$\displaystyle\lim_{x\to 0}f'(x)$ が存在しない $\Longrightarrow$ $f'(0)$ が存在しない

は正しくないのです.

 ちなみに $y=f(x)$ のグラフの概形は次のようになります.


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4.垂線の長さ            【ノート
5.不定方程式            【ノート
6.関数の連続性は導関数に遺伝するか 【ノート
7.極方程式における $r$ の正負について 【ノート
8.極座標表示における扇形分割積分  【ノート
※【ノート】はスライドの内容をまとめたものです.